Математическая биофизика клетки - Иваницкий Г.Р.
Скачать (прямая ссылка):
можно привести к эквивалентной форме
= vlm — Piffi — v, s = v2,„ — ЭаСГа — v, (2.63)
где
v = 0i(vo “Ь (aso a2)v)/(l ajOj -j- (сг0 — стг)у(1 °i))-
(2.64)
Новую переменную ст2 можно рассматривать как концентрацию субстрата S2 некоторой эквивалентной реакции
(2.60)
У > 1 (2.61)
г,
--------->S,
(2.65)
г/
s< ------------> '
в которой S2 — ингибитор фермента Е, связанный законом сохранения с продуктом S2 (ст20 = ст2 -f- (Та — полная концентрация S2 и S2). Правда, выражение (2.64) для безразмерной скорости реакции (2.65) является «нехимическим» — оно предсказывает v ф 0 при а'2 = 0. Однако этот недостаток легко устраняется малым возмущением уравнения (2.64) с помощью малого параметра б:
у - ,______м*о+(°»- °;)ч________ (266)
б + °2 1 + а1°1 + (°20 - CT2)V (1 + °l)
Это уравнение описывает гиперболическую зависимость скорости от концентрации аг и кривую с максимумом v (сг2), характерную для субстратного угнетения.
Из-за малости б модели (2.63), (2.64) и (2.63), (2.66) имеют почти совпадающие фазовые портреты, различия существуют лишь в малой б-полосе, примыкающей к оси ст2. Поэтому параметрические портреты этих моделей, построенные в плоскости параметров (рх, vlf„), не только топологически эквивалентны, но даже количественно почти совпадают. А так как модель (2.63) с уравнением для скорости реакции (2.66) с точностью до обозначений совпадает с эталонной моделью (2.36), то ее можно считать топологически эквивалентной эталонной модели.
Простейшие из эквивалентных моделей целесообразно использовать для замещения более сложных при моделировании полиферментных систем. При этом подгонкой параметров легко добиться хорошего количественного совпадения между моделью-объектом и моделью-заместителем. В работе [85], например, показано, что феноменологическая модель (2.60) с высокой точностью замещает существенно более сложную модель реакции (2.59), катализируемую олигомером [86].
В дальнейшем кинетические модели, описываемые топологически эквивалентными математическими моделями, будем называть эквивалентными. Эквивалентными будем называть и регуляторные связи, если они принадлежат таким кинетическим моделям. Так, например, только что было показано, что кинетические модели (2.59) и (2.65) описываются топологически эквивалентными моделями. Следовательно, эти кинетические модели и их регуляторные связи — субстратное угнетение в модели (2.65) и продуктная активация в модели (2.59) — также эквивалентны.
2.7. Эффект депонирования
При математическом моделировании механизма одночастотных гликолитических колебаний [87—100] было замечено, что участие быстрой обратимой реакции в биохимическом автогенераторе увеличивает период автоколебаний примерно в К + 1 раз (К — константа равновесия обратимой реакции) [72, 83, 84]. Это явление имеет важное значение для теории клеточных часов — еще не идентифицированной автоколебательной биохимической системы, создающей колебания с периодом Т0 — 24 ч [84, 101—104].
Эффект депонирования, или замедление колебаний, вызываемое быстрой обратимой реакцией, имеет простое объяснение.
Пусть в биохимической системе имеется вещество S, участвующее в различных обменных реакциях. Внесем в эту систему реакцию быстрого обратимого депонирования вещества в его резервную, метаболически неактивную форму Sd:
Здесь k+d и k_d — константы скорости. Теперь суммарная концентрация вещества S стала равной [S] + [SJ. Если реакция (2.67) быстрая, то в ней за короткое время устанавливается равновесие, при котором
С участием условия (2.68) суммарная концентрация вещества S равна [S] + К [S] = {К + 1) [S], где К = k±x!k_d — константа равновесия реакции (2.67). Таким образом, внесение в биохимическую систему реакции (2.67) эквивалентно увеличению в К -}-+ 1 раз суммарной концентрации вещеста S, а это означает увеличение во столько же раз постоянной времени для изменения [S]: для того чтобы синтезировать или расходовать увеличенное в К 1 раз количество вещества, надо в К + 1 раз больше времени.
В клетках депонирование метаболитов и их превращение из резервной в метаболически активную форму осуществляется отдельными ферментами. Анализ эффекта депонирования в таких сложных случаях может быть проведен лишь с помощью математических моделей [72, 105], так как из-за нелинейности кинетики ферментативных реакций не удается в явном виде вычислить фактор замедления, т. е. величину, на которую увеличивается постоянная времени концентрации депонируемого вещества.
Детальное исследование моделей показывает, что ферментативные реакции в проточных условиях обладают большим разнообразием динамического поведения, которое никогда не наблюдает-
(2.67)
*+d [S] - k-d[Sd] = 0.
(2.68)
