Математическая биофизика клетки - Иваницкий Г.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Возвращаясь к общей модели (2.1), стоит заметить, что очень часто такие модели имеют S- или Z-образную нуль-изоклину Q (х, у) — 0. Квазистадионарные значения у = у, соответствующие ординатам точек, расположенных между двумя экстремумами этой изоклины, неустойчивы. Это приводит к тому, что любая стационарная точка модели (2.1), расположенная на неустойчивом участке изоклины Q (х, у) (на участке, где d^/d.r 0), при g <^; 1 оказывается неустойчивой.
Б
2.2. Модель открытой реакции Sx # S2 с субстратным угнетением
Субстратное угнетение — широко распространенный тип регуляторного воздействия на активность ферментов [3, с. 72; 68; 69]. Однако трактовка физиологической роли такой регуляции долгое время встречала затруднения, за исключением, может быть, угнетения аденозинтрифосфатом фосфофруктокиназы (КФ 2.7.1.11), которое, как считают [69], способно предотвращать бесполезный синтез АТФ в гликолитической системе, когда его уровень достаточно высок. Математический анализ особенностей кинетики открытых ферментативных реакций при наличии субстратного угнетения показал возможность существования нескольких стационарных состояний с различной устойчивостью, гистерезиса и незатухающих колебаний [70—73].
Рассмотрим односубстратную обратимую реакцию [71]
-S,-.
(2.12)
где Sx — субстрат, — продукт, Е — фермент, угнетаемый субстратом, v — скорость реакции, v1 и и2 — скорости притока соответственно Si и S2. Примем, что
l1! — Vlm /Cj [Sjl, V% = ^2m ^2 I(2-13)
и что скорость реакций v описывается выражением (1.26). Тогда поведение реакции (2.12) во времени t можно описать системой, являющейся частным случаем системы (2.9):
—= vim — kl [SJ — V, ^ = Щт [Р] + V. (2.14)
Для удобства анализа приведем эту модель к безразмерному виду:
— безразмерная скорость реакции (2.12).
Безразмерные переменные и параметры модели связаны с размерными следующим образом:
В соотношениях (2.17) использованы размерные параметры, входящие в выражение (1.26). Рассмотрим квазистационарную выходную характеристику v (а2) модели (2.15), определяемую уравнением
где = (vlm — v)/px и v — квазистационарные значения. Семейство квазистационарных выходных характеристик v (сг2), построенное по формуле (2.19), показано на рис. 6. Из этого рисунка видно, что при больших значениях а2 квазистационарная скорость реакции v становится отрицательной, т. е. реакция протекает в обратном направлении: S2 ->- Sj. Если значение а достаточно мало, то в некотором диапазоне значений 02 зависимость v (сг2) неоднозначна, что связано с наличием экстремумов у функции ст2 (v). На рис. 6 в экстремальных точках v положительно. Покажем, что это имеет место при любых значениях параметров модели (2.15). Дифференцирование уравнения (2.18) дает
(2.15)
Здесь
V = (CTj — 06<т2)/(? + к + + <Х?))
(2.16)
ffl = [S JIK,, а2 = [S2]/Z2, т = F+ (KjKd-VK,,
а = F_/F+, 8 = KJKt, I = (2.17)
vim = vlm/F+l, pi = kxKJV +\,
^2m P2 = k2K2IV+^,
Vim — Ml — V = 0.
Из уравнений (2.16) и (2.18) следует, что
ст2 = (CTi — V{I + 5а (Е + аУ)))/(а + v(? + сг}1)),
(2.18)
(2.19)
(2.20)
откуда
(2.21)
У V
Р ис. 6. Семейство квазистационарных выходных характеристик реакции (2.12), построенных по уравнению (2.19) при vlm — 0,55, = 0,165, | = 0,1,
у — 2 и различных значениях а (цифры на кривых)
Здесь и на рис. 7, 10, 11 пунктиром отмечены участки, соответствующие неустойчивым квазистационарным состояниям при е = 0
Рис. 7. Графическое нахождение стационарных состояний реакции (2.12) Стационарные состояния О,, О, и -О, представляют собой точки пересечения гистерезисной квазистационарной выходной характеристики v (сг), построенной по уравнению (2.19), с линейной характеристикой стока (источника) продукта v, = р2<т, — v2in. Параметры: 'а = 0,2, V = 2, Р, = 0,4, р, = 2,5, Vlm = 0,95, v2m = 0,5, | = 0,1
В экстремальных точках должно выполняться условие do2fdv = 0
и, учитывая уравнение (2.21),
рг = —dvIdOi. (2.22)
Поскольку всегда неотрицательно, то экстремумы существуют лишь при
д\1дб1 0. (2.23)
Однако скорость, определяемая выражением (2.16), может быть отрицательной только при сгх — асг2 < 0, что приводит к неравенству
ду _ № + а\) (gj + Да) - (gi — аз») (У^Г1 + sa) + S + s?)
~ « + («!+«О « + «?))* ’
(2.24)
которое противоречит выражению (2,23).
Из этого следует, что в случае трех стационарных состояний каждое из них имеет v 0 (как на рис. 7).
