Математическая биофизика клетки - Иваницкий Г.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Графом ферментативной реакции называется совокупность узлов, соответствующих квазистационарным концентрациям всех ферментных комплексов Х; (i = 0,1,2, . . ., п), и соединяющих их направленных ветвей, характеризуемых некоторой величиной kt},
Щ)
равной константе скорости превращения Хг —> Xj. При этом kih называемая величиной или передачей ветви, может быть функцией концентрации вещесгва, участвующего в данном превращении. Концентрация этого вещества считается в квазистационарном состоянии постоянной.
Например, ферментативная реакция
протекающая через промежуточное образование двух фермент-субстратных комплексов SjE и S2E:
может быть представлена в квазистационарном состоянии графом, имеющим три узла и шесть направленных ветвей. На графе
(1.11) указаны величины ветвей; две из
тельностей. Величиной дерева Dt называется произведение величин всех его ветвей. Например, узлы графа (1.11) имеют следующие деревья (их величины приведены):
(1.9)
(1.10)
Е
к. А,(1-11)
них (к+iSx и &_2S2) зависят от концентраций Si = [SJ и ,?2 = [S2], считающихся в квазистационарном состоянии постоянными.
Деревом графа, направленным в i-й узел, называется незамкнутая совокупность ветвей, направленных от всех узлов графа к i-му узлу. Дерево не имеет замкнутых или параллельных последова-
к.
S,E
к.
S.E
S<E
|(1.12)
к. ,
Так как в исходном графе имеется вся информация, необходимая для расчетов, при вычерчивании деревьев обычно не используют обозначения узлов и величин ветвей. Более того, при достижении некоторого навыка величины деревьев выписывают прямо по исходному графу — без вычерчивания деревьев.
Совокупности (на стр. 24) не являются деревьями узла Е, так как а представляет собой замкнутую последовательность ветвей (цикл), б имеет две параллельные последовательности ветвей (SiE—>-Е и SiE—>-S2E -> Е), соединяющих узлы SiE и Е, в имеет цикл SiE 5=: S2E, в г ветвь Е—>-SjE направлена от узла Е, в д узел SXE не связан с узлом Е.
Базовым определителем Дг г-го узла называется сумма величин всех деревьев, направленных в г-й узел — базу. Определителем графа Д называется сумма всех базовых определителей графа.
Например, определителями узлов Е, SiE и S2E в графе (1.11)
являются следующие суммы величин деревьев (1.12):
Ар = k_Jc_ + *-i&+2 + к+к+2,
As,e = k+1sjc_ + k+iSik+2 + fc_2s2fc_, (1.13)
A s,e = *+iS ik+ + fc_ifc_2s2 + k_2s2k+,
S,E
s2e
Sf E
0 S( E
а определитель этого графа равен сумме трех базовых определителей:
А = Де + As,e + AsjE- (1.44)
Начальная квазистадионарная скорость ферментативной реакции выражается через определители графа реакции [2,47] следующим образом:
v = е0-
(1.15)
где kt — константа скорости образования или связывания продукта узлом Хг, Дг — базовый определитель узла Хг, е0 — полная концентрация фермента. При вычислении v в случае обратимого образования продукта используется следующее соглашение о знаках: ki^> 0, если узел Х; выбрасывает продукт, и kt < 0, если узел Хг связывает продукт.
Например, для графа (1.11) по формуле (1.14) следует записать
v = е0
(1.16)
Первый член в числителе положителен, так как распад S2E освобождает S2, а второй член отрицателен, так как S2 связывается с Е.
Квазистационарные концентрации промежуточных комплексов находятся по формуле
[Х(] = е0А,/А. (1.17)
Так, в графе (1.11) концентрации свободного фермента и комплексов определяются выражениями
[Е] = е0Дд/Д, [SiE] = e0As,E/A, [S2E] = e0As,E/A.
Используя некоторые особенности структуры графа, его можно упростить [47]. Например, несколько ветвей, соединяющих узлы i —*¦ /, можно слить в одну с величиной
а
Симметричные узлы с равными величинами ведущих от них ветвей можно слить в один узел. При этом концентрация комплекса, соответствующего образовавшемуся от слияния узлу, равная сумме концентраций исходных комплексов, а величины ветвей, ведущих к новому узлу <7 от узлов г, равны:
^9=3^0- (4.19)
а
Определитель направленного графа, состоящего из двух подграфов А и В, имеющих одну общую точку ?, можно найти по правилу
А =ДА.Д?+ Af • Дв, (1.20)
где Af и Ai — базовые определители общего узла i подграфов А и
В, а ДЛ и Дв — определители этих подграфов.
Стоит обратить внимание на то, что графы каталитических и, в частности, ферментативных реакций отличаются от обычных топологических графов, широко используемых в различных приложениях [48—51]. Это отличие обусловлено двумя особенностями (био)химических графов: во-первых, для каждого узла химического графа выполняется закон сохранения массы — сумма токов, сходящихся в узле, должна быть равна нулю, а, во-вторых, узловые переменные (концентрации) также связаны законом сохранения — сумма всех узловых концентраций равна полной концентрации фермента е0. Поэтому все правила преобразований обычных графов неприложимы к химическим графам без их переформулировки.
