Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
с k -{-1 до Л. Обозначим через вероятность того, что в течение операции, в начале которой число стоящих станков равно А, остановится еще j станков. Для того чтобы некоторая операция началась без предварительного ожидания (вероятность я„), необходимо и достаточно, чтобы: 1) предшествующая операция началась в отсутствии ожидающих (вероятность я, -j- яв) и 2) в течение этой операции ни один станок не остановился (вероятность т|1#). Отсюда:
я,=*(я,-1-1‘1) Г),,. (3)
Подобным же образом, если 0 < ? < А, — 1, то для того, чтобы какая-либо операция началась в момент, когда число стоящих станков уменьшается с k -f-1 до k *) (вероятность Яд), необходимо и достаточно, чтобы: либо предшествующая операция началась в момент, когДа число стоящих станков уменьшается с ?-|-2доА-)-1 (вероятность яЛ+,), и в течение этой операции не произошло ни одной остановки (вероятность Г|А+10); либо предшествующая операция началась в момент, когда* число стоящих станков уменьшается с k -f-1 до k (вероятность яА), и в течение этой операции остановился один станок (вероятность t|a,i)> и т. д.; либо, наконец, чтобы предшествующая операция началась в отсутствии ожидающих (вероятность я, -j- я0) и в течение этой операции произошло k остановок (вероятность т|1А). Таким образом мы находим:
**=***+i4*+m + *VU,« + ... + (я, 4- я0) т)14
(0<л<х—1). (4)
Наконец, в случае k=%—1 мы аналогичным рассуждением находим:
(5)
Если предполагать все величины Т|4>у известными, то, очевидно, из уравнений (3) и (4) можно’последовательно выразить все яА линейно через я„; уравнение (5) представляет собою следствие соотношений (3) и (4) и новых результатов
*) Заметим, что при k > 0 момент начала даииой операции
есть, вместе с тем, момент окончания предшествующей операции.
не дает, но очевидное соотношение
X —1 2**-»
позволяет определить и я,.
Таким образом, задача сводится к определению коэффициентов т|Л(/, что может быть сделано без затруднений. В самом деле, если данная операция длится t часов и если в начале этой операции стоят к станков, то вероятность того, что в течение этой операции из Я. — к работающих станков остановятся ровно /, очевидно, есть
А так как вероятность того, что данная операция будет иметь длительность, заключенную между t и t-\-dt, есть f(t)dt, то
00
т)Л(/ = СЬ S (1 -<rxV(e-*,)x-*-'/(0 dt,
о
что и решает задачу.
5. Зная среднее время простоя, мы без труда можем решать все вопросы, связанные с наиболее выгодным распределением станков между рабочими. Для практических расчетов, основанных на изложенной теории, необходимо, разумеется, создать специальный аппарат в виде номограммы или таблицы, что, вероятно, не представит затруднений. Теоретически же задача приведенными нами соображениями решается до конца.
ПОТОКИ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ*)
§ 1. Постановка задачи
Поток однородных случайных событий представляет собой случайный процесс х (/) (t 3* 0), в котором функция (число событий, наступающих в промежутке времени**) (0, 0) — неубывающая и способна принимать лишь целые неотрицательные значения. Полное стохастическое описание такого потока мы получаем, задавая для любого натурального числа п и для любой группы из п моментов времени . ,<^t„ п — мерный закон распределения вектора [*(/,), x(tt), ..., х(/„)]. Вместо этого можно, очевидно, задать и закон распределения вектора [х (<4), х (/,) —
— х^), ..., x(tn) — х(/„_,)]•
Поток событий называется стационарным, если закон распределения вектора [х (а-{-*/)— *(<*)> зависит
только от чисел tt, ..., tn, но не зависит от а (и, следовательно, при любом а^О совпадает с законом распределения вышеприведенного вектора л;(^), 1^/^/z). Поток называется потоком без последействия, если для любой системы (в,, Vj) (1^/^л) попарно не пересекающихся промежутков времени разности x(v^ — х (н,) (1 / s=S я)
представляют собой взаимно независимые случайные величины. Если vk(a, Р) (0^а<^р, А 3*0 целое) означает вероятность равенства д:(Р)—x\a) = k (т. е. вероятность того, что в течение промежутка (а, Р) наступит k событий данного потока), то поток без последействия, очевидно, полностью описывается заданием системы функций vk(a, Р) (0^а<^р,
¦) Теория вероятностей и ее применения, т. 1, вып. 1, 1956, стр. 3—17.
**) Промежутком времени (а, Ь) мы во всем дальнейшем называем совокупность всех t, для которых a<t<b.
^>0), Так как тем самым задается распределение разности ж(р) — х (а) для любого промежутка (а, Р). Если данный поток к тому же стационарный, то величина ©Л(а, а-J-t) зависит только от k и t и может быть обозначена через vk(t) (вероятность наступления к событий в произвольном промежутке длины <)•
Если к требованиям стационарности и отсутствия последействия добавить еще условие
Нт 1- *<*>- 0| (<> = 0, (1)
