Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Хинчин А.Я. -> "Работы по математической теории массового обслуживания" -> 49

Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. — 236 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotapomatteoriiobslujivaniya1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 71 >> Следующая

В качестве вспомогательных величин нам понадобятся следующие:
*) Матем. сб., т. 40 (1933), № 2, стр. 119—123.
|л — средняя длительность одной операции, п — число остановок одного станка в единицу времени;
<р (/) — вероятность того, что станок, работающий в момент не остановится до момента
nk — относительное число остановок, происходящих в такие моменты, когда число уже стоящих станков равно k.
Все эти величины могут быть определены из данных нашей задачи.
Следует заметить, что формулами, которые даются в настоящей статье, целесообразно пользоваться лишь для небольших значений А, (в пределах 1—2 десятков). При большем числе станков можно с успехом применять, в порядке приближения, значительно более простые методы расчета, которые нами установлены в другой статье*).
2. Единицу времени, которая может быть выбрана произвольно, целесообразно принять весьма большою; для краткости условимся называть ее часом.
Для средней длительности операции мы, очевидно, имеем формулу:
00
|i = J*/(*)<«.
Определим, далее, функцию <р(/); для этого заметим, что, очевидно,
Ф(* + Л)-=Ф(<)(1 —хЛ),
откуда
ф'(*) = — хф(0,
или
ф(*) = Се-“,
причем очевидное условие ф(0) = 1 дает С=1, так что
ф(*) = е"х<.
Вероятность же того, что станок, работающий в начале некоторого промежутка длины i, остановится в течение этого промежутка, равна
__________________ 1 —ф (0 = 1 —e~xt,
*) «Математическая теория стационарной очереди», Матем. сб., т. 39 (1932), № 4, стр. 73.
6 А Я- Хннчин
и далее, вероятность того, что для станка, работающего в момент ft, первая остановка последует в течение малого промежутка времени (^0 tQ-\-t-{-df), равна
ф(<) х dt = xe~xidt;
отсюда мы можем определить среднее значение рабочего периода станка, т. е. времени, протекающего от момента пуска (конца операции) до ближайшей остановки:
СО
О
Заметим, что практически величину х лучше всего находить именно из этой формулы, так как средний рабочий период станка легко поддается непосредственному измерению.
3. Теперь мы можем перейти к установлению формулы, определяющей среднее время ожидания у. С этой целью заметим, что рабочий час для каждого станка слагается из чередующихся периодов трех различных категорий:
рабочий период ^средней длины j, период ожидания
(средней длины у) и период операции (средней длины ц). Так как мы обозначили через п число остановок станка в течение часа, то
"(i+Y + ц)^1- 0)
В этом уравнении, кроме у, неизвестно еще и п. Поэтому мы должны искать второе соотношение, связывающее те же неизвестные. С этой целью заметим, что для рабочего его рабочий час слагается из чередующихся периодов двух категорий — периодов занятости и периодов свободы. Сумму длин всех периодов занятости легко найти. Число станков равно А,, каждый станок требует в час п операций, средняя длительность операции равна ц. Отсюда время загрузки рабочего равно пЦ,I. Сложнее найти время, в течение которого рабочий свободен. Заметим прежде всего, что число моментов освобождения рабочего, очевидно, равно числу моментов, когда ои от свободного состояния переходит к работе (так как моменты э-тих двух категорий строго чередуются). Но второе число есть, вместе с тем, число
остановок, происходящих в периоды, когда все остальные станки работают (и потому рабочий свободен). Согласно нашим обозначениям это число есть Аля,; таково, следовательно, число периодов свободы для рабочего. Что касается средней длительности такого периода, то она может быть найдена из следующих соображений. Если в данный момент все станки работают, то вероятность того, что и по истечении времени i все они еще будут работать, равна e~x%t; вероятность же того, что какой-нибудь из них остановится в промежуток времени (t, t-\-dt), равна (пренебрегая малыми высших порядков) Xxdt. Следовательно, вероятность того, что длительность данного периода свободы для рабочего будет заключена между t и t-{-dt, равна e~uth<dt, а значит, средняя длительность периода свободы рабочего есть
Отсюда сумма длин всех периодов свободы равна Аля, • г-—п —,
* А.Х X ’
и мы получаем соотношение
я(^+5)=в1- <2>
Исключая п из уравнений (1) и (2), мы находим:
Y = (X-
Этот результат полностью решал бы поставленную задачу, если бы я, было нам известно. Определение величины яв, которому будет посвящено все дальнейшее, и составляет в сущности, математическое содержание предлагаемого решения, так как все предшествующее было элементарным расчетом.
4. Число як, представляющее собою, по определению, относительное число остановок, в момент которых число стоящих станков увеличивается с Л до ЛЦ-1, очевидно, есть, вместе с тем, относительное число таких операций, в конце которых число стоящих станков уменьшается
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed