Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
справедливость которого и непосредственно довольно ясна; в самом деле, в § 2 мы видели, что пл есть относительное число вызовов, встречающих при своем возникновении к занятых абонентов; очевидно, что это число при наших предпосылках совпадает с относительной длительностью Р(к) того времени, в течение которого выполняется это условие.
Однако этот непосредственный вывод основного закона все же не является вполне убедительным; поэтому мы дадим формальное доказательство этого закона, тем более, что нужный для этого математический аппарат нам все равно понадобится в дальнейшем.
Итак, мы постараемся выразить величину P(k) через начальные индексы л,. С этой целью заметим следующее: вероятность того, что в произвольно выбранный момент времени телефонистка занята, равна а; если это случилось, то вероятность того, что ведущийся разговор имеет длительность, заключенную между t и равна относительной
общей продолжительности таких разговоров, т. е.
tf(t)dt.
ПГ~’
если, наконец, разговор действительно имеет эту длительность, то вероятность Pt(x<^u<^x-\- dx) того, что уже протекшая до нашего вызова часть и этого разговора заключена между х и x-\-dx, составляет у (если x<^t) и 0
(если *><)• Отсюда:
X
СО
“Т? 5т dt==zi11 “ F(x)] dx'
X
Здесь левая часть есть вероятность того, что в произвольно выбранный момент времени мы застанем разговор, уже протекшая часть которого и заключена между х и x-\-dx, а в правой части через F{x) обозначен интегральный закон распределения длительности разговоров. Вероятность же того, что в течение этой, уже протекшей, части разговора состоялось j вызовов, равна, очевидно
ОО 00
•у = J р (* < а < X+dx) v, (*) = Jj- j vy (х) [ 1 — F (*)] dx.
О О
Но, с другой стороны, очевидно, что
P(k) = я*(о0 + «*_,», + ...+(«, + я,) „
откуда
00
m=-jj J 11 — F(x)] »*.,(*) dx, (3)
О
где положено:
ак-1 (*) = "ftvo (*) + ItMV.W+'"+ («1 + Яо) V*-, (АГ).
Функции «*(*), как легко непосредственно проверить, удовлетворяют разностно-дифференциальному уравнению
“* w~e* wi;
поэтому, написав соотношение (2) в виде:
00
J «А (*)/W
в интегрируя по частям, мы находим:
оо
Лк — Ч (°) + 5 “* (*) I1 — Н*)] dx —
О
00
=лй+1 + ^ j [«*+1 (X) — ик (х)] [1 — F{x)] dx=
= + т-*>(* +1),
откуда
пк— P(k) = nk+1 — P(k-{-1) = const.
Но я4 и P(k) — члены сходящихся рядоз, в силу чего эта постоянная должна обращаться в нуль, и таким образом, основной закон доказан.
В силу этого закона рекуррентные формулы (1) и (2) имеют место для величин Р(К) и позволяют в случае надобности их последовательно определять; однжо, получаю цееся отсюда общее выражение для P(k) неудоб.ю для расчетов и для теоретического употребления, вследствие чего мы предпочитаем в дальнейшем пользоваться соотношениями (1) и (2) в их первоначальном виде:
00
Р(&)=$ ик(х)/(х) dx. (4)
о
§ 4. Определение среднего времени ожидания
Время ожидания у (случайная величина), т. е. время, протекающее от момента вызова до начала разговора, слагается из двух составляющих: 1) врэмя т от момента вызова до окончания того разговора, который ведется в момент вызова, и 2) суммарная длительность Т разгоюров всех тех абонентов, которые в момент произведенного вызова находились в состоянии ожидания (разумеется, 7=0, если вызов произошел в момент, когда нет ожидающих, и 7 — т—у — О, если вызов застал телзфонистку свободной).
Таким образом:
Y
где т и Т — также случайные величины. Для метода последующих расчетов важно иметь в виду следующее замечание.
Очень легко найти закон распределения для величины т; зная величины Р(к), найденные нами в § 3, столь же нетрудно найти закон распределения величины Т; однако, это не дало бы нам возможности написать закон распределения для величины у, потому что величины т и Т взаимно зависимы, и в этом — главная трудность проблемы. В самом деле, если, например, т мало, то это есть при прочих равных условиях указание на то, что разговор длится уже относительно долго; это же, в свою очередь, указывает на то, что, вероятно, скопилось много ожидающих, так что Т получает шансы стать б^ьшим. Каким образом может быть преодолено это затруднение, мы увидим в дальнейшем; здесь же, где речь идет только о математическом ожидании величины у, это обстоятельство не играет, конечно, никакой роли, так как (обозначая математическое ожидание случайной величины тою же буквой, но с чертой сверху):
Y = t + f.
