Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем я обозначаю через згА = 1, 2, ...) вероятность того, что при начале наудачу выбранного разговора*) число ожидающих очереди абонентов упадет с k до k—1; иначе говоря, nk есть относительное число разговоров, начинающихся в указанных условиях. Через я„ я подобным же образом буду обозначать относительное число разговоров, начинающихся без предварительного ожидания.
Очевидно, мы можем также сказать, что яА(? = 0,1, 2,...) есть относительное число таких окончаний разговоров, в момент которых число занятых абонентов падает с k-\-1 до k; в случае 0 это непосредственно ясно, так как
*) Идея рассмотрения моментов начала разговоров оказалась весьма плодотворной. О возникшей в связи с этим теории вложенных цепей Маркова см. работу Д. Кендалла «Стохастические процессы, встречающиеся в теории очередей, и их анализ методом вложенных цепей Маркова», сб. переводов «Математика», т. 3, вып. 6, 1959, стр. 97—111.— Б. Г.
момент окончания одного разговора есть, вместе с тем, момент начала следующего разговора; в случае же k = 0 это следует из того, что за каждым окончанием в отсутствии ожидающих следует в точности одно начало без ожидаиия.
Но непосредственно очевидно, что число моментов, когда очередь переходит от /г —1 участников к k, равно числу моментов обратного перехода от k к A-J-1; так как момент первого рода наступает только при окончании разговора, а момент второго рода — толью при поязлении нового вызова, то як (k = 0, 1, 2, ...) есть относительное число вызовов, в момент которых число занятых абонентов повышается с k до k -4- 1.
Эти числа Яд. мы будем называть начальными индексами нашей задачи; их роль будет чисто вспомогательной; однако, мы должны начать с их определения.
§ 2. Рекуррентное определение начальных индексов
В тех условиях, которые нами приняты относитель о поступления вызовов, вероятность того, что в течение некоторого данного промежутка времени t произойдет k вызовов, выражается, как известно, формулой Пуассона *)
Найдем прежде всего вероятность % того, что в течение данного, наудачу выбранного разговора произойдет k вызовов (иначе гозоря, г|., есть относительное число тех разговоров, в течение которых происходит k вызою»): вероятность того, что выбранный разгояор будет иметь длительность, заключенную между / и равна по предположению
f(t)dt; следовательно, по формуле полной вероятности:
*) Это есть общая теорема теории вероятностей, находящая себе применение не только в эксплуатации установок общего пользования, но. например, также в теории радиоактивною излучения. Доказательство можно найти, например, в книге Фрая «Теория вероятностей для инженеров».
со
п* = $ V*(0/(0 л.
о
Мы обозначим через я, вероятность того, что наудачу выбранный разговор начнется бзз предварительного ожидания; для того чтобы это случилось, необходимо и достаточно, чтобы предыдущий разговор начался в момент, когда никто не ждет (вероятность чего есть jt0 —|— я,>, и чтобы, сверх того, в течение этого разговора не последовало ни одного вызова (вероятность чего есть т)0). Отсюда
»*. = (*. +я.) Л.- (1)
В случае 4>0 есть вероятность того, что наудачу выбранный разговор начнется в момент, югда число ожидающих падает с А до к—1; для того чтобы это случилось, необходимо и достаточно осуществление какой-иибудь одной из следующего ряда предпосылок:
1. Предыдущий разгоюр начался в момент, когда ожидающих не было (зероятность я04-я,), и в течение этого разговора произошло к вызовов (;ср лггность %).
2. Предыдущий разговор начался в момент, кэгда число ожидающих уменьшилось с двух до одного (зероятность я2), и в течение этого разговора произошло k — 1 вызовов (вероятность тц.,).
А-}"!* Предыдущий разговор начался в момент, когда число ожидающих упало с k-\- 1 до k (вероятность я#+1), и в течение этого разговора не последовало ни одного вызова (вероятность т)0).
По формуле полной вероятности мы, таким образом, получаем:
я* = яА+1л. + "Л ++ • • • + «Л-, + («» + я0) л* (*>0). (2)
Формулы (1) и (2) позволяют последозательно выразить все
00
ял через я0, а так как ^лк—1, то и я. является опре-
#=о
деленным. Явные выражения этих начальных индексов через данные элементы нам в дальнейшем не понадобятся, но полученные рекуррентные формулы призваны играть основную роль.
§ 3. Основной закон стационарной очереди
Пусть Р(к) означает вероятность того, что в произвольно выбранный момент времени в точности k абонентов окажутся занятыми (т. е. что в случае ?>0 один говорит и к—1 ожидают). Практически эта вероятность измеряется относительной длительностью того времени, в течение которого занято к абонентов.
Основным законом стационарной очереди назовем соотношение
P(k) = nk (k=0, 1, 2, ...)
