Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
<-»о *
то, как известно ([1], глава 1),
(k=o, 1, ...);
распределение величины x(t) при сделанных трех допущениях определяется, таким образом, однозначно с точностью до произвольного положительного числа Я (это число называют интенсивностью данного потока).
Недавно Редхеффером [2] и автором ([1], § 8) найдена общая форма стационарных потоков без последействия без дополнительного требования (1). С другой стороны, уже давно известна форма потока без последействия, удовлетворяющего требованию (1), но, вообще говоря, нестационарного *).
За последнее время, с одной стороны, обнаружилось, что для приложений имеет значение исследование потоков без последействия весьма общего вида. С другой стороны, удалось найти методы, сделавшие возможным исследования такого рода для некоторых специальных задач (см., например, рассмотрение известной задачи Эрланга у Пальма [3] или у автора [1], § 24; см. также работу Такача [4] о дробовом эффекте). Поэтому естественно встает вопрос об общей форме потоков без последействия. Настоящая работа имеет целью дать ответ на этот вопрос; полученное решение задачи можно признать удовлетворительным, так как все элементы произвола искомой структуры выявлены в нем с исчерпывающей ясностью.
*) Правда, при этом обычно предполагается еще существование некоторой «мгновенной интенсивности» \(t) потока любого момента времени U
Пусть Л (0 означает (конечное или бесконечное) математическое ожидание числа событий данного потока, наступающих в промежутке (0, t). Очевидно, Л (t) есть неотрицательная и неубывающая функция от /, которую мы будем называть ведущей функцией данного потока. Будем называть этот поток финитным, если Л (0 < -j- оо (*з* 0). Во всем дальнейшем мы будем рассматривать только финитные потоки. Случай Л(0 = -|-оо представляет собой задачу совсем особого рода, вряд ли способную отвечать запросам большинства приложений.
Если A(t) — любая неотрицательная, конечная, неубывающая функция от t, то формулы
**(а, р) == ехр {— [Л (р) - Л (а)]} ^ (Р)",Л (а)1* (2)
(0<а<р, &з*0)
всегда определяют некоторый поток без последействия, ведущая функция которого совпадает с Л(0- Именно этот поток обычно и рассматривают, когда исходят от ведущей функции A(t). Однако такое ограничение, вообще говоря, представляется необоснованным. Как мы увидим, потоки типа (2) образуют лишь частный случай финитных потоков без последействия, так что, ограничиваясь потоками типа (2), мы подменили бы общее исследование проблемы рассмотрением частных случаев. Правда, потоки типа (2) образуют собою, как мы увидим, в известном смысле фундамент всей совокупности финитных потоков без последействия; но это как раз и надо показать с полной ясностью для того, чтобы специальное исследование потоков типа (2) получило хотя бы временное обоснование.
§ 2. Леммы о финитных потоках
Для решения поставленной задачи нам понадобится ряд элементарных и по большей части легко доказуемых вспомогательных предложений. Многие из этих лемм не связаны с отсутствием последействия и имеют силу для всех финитных потоков; такими леммами мы и займемся в настоящем параграфе; во всех последующих предложениях этого параграфа данный поток предполагается финитным, а во всем остальном — произвольным.
00
Лемма 1. При Оа^а<р всегда 2(а» Р)5*!-
^30
Доказательство. Очевидно, разность 1 —^v((а, Р)
есть вероятность того, что в промежутке (а, Р) наступит более k событий данного потока. Поэтому на основании неравенства Чебышева
/=0
и, следовательно,
1—р)_"°
ч. т. д.
Лемма 2. При k^O и 0 существует предел
limvk(t — A, t-\-h)=pk(i). (3)
к-*+л
Доказательство. Положим для k^O,
Р) = ^А(а, Р).
Так как ф»(а, Р) есть вероятность того, что в промежутке (а, Р) наступит по меньшей мере k событий, то величина ){t — А, при положительном и убывающем А не может
возрастать. Поэтому всегда существует
lim \pk(t — А, /-|-А).
Й->+0
В силу соотношения vk(a, P) = ij>ft(a, Р) — >!>*+,(«. Р) существует и предел (3), ч. т. д.
Условимся называть точку (момент времени) t регулярной или сингулярной точкой данного финитного потока, смотря по тому, будет ли /?в(/)=1 или /?„(*)<! !•
Лемма 3. Все точки непрерывности функции \(f) — регулярные, а все ее точки разрыва — сингулярные точки данного потока.
Доказательство. Так как
1 —».(* — *> * + А)=2 vk(t—-h, * + А)«
*=1
kvk{t — A, t-\-h)=ssA(t-{-h) — \(t — А),
?=1
то в случае Л-f-0) = A(t — 0) мы имеем
1-Pe(*) = lim[l-vt(t-h, *+А)] = 0, л-»+»
что доказывает первое утверждение леммы 3.
Далее, при 0, 0<^А<^< и любом целом /»)>0
Л(< + Л)—Л(/~А)=2 *»*(< — Л. < + А) —
isi
¦*(* — *• < + Л)“2 'Ы'-л, * + А) +
