Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Мы приходим таким образом к следующему предложению.
J1 е м м а 3. Вероятность ик (г) того, что через промежуток времени z^t после начала произвольно выбранного разговора длины t мы будем иметь k ожидающих, равна
и„(г)= 2 nrvk_r(z) (& = 0, 1, 2, ...).
г—а
Условимся теперь обозначать через т промежуток времени между произвольно выбранным моментом и окончанием
того разговора, который мы в этот момент застали (остаточная длительность случайно застигнутого разговора). Имеет место
Лемма 4. Пусть ?3*0, л;^>0 и dx^>0 мало. Вероятность застать в произвольно выдранный момент k ожидающих и разговор с х<^х<^х-\-dx равна
Доказательство. Трудность обоснования леммы 4 заключается в том, что закон распределения случайной величины т зависит от того, сколько ожидающих мы застаем в выбранный нами момент времени. Если мы обозначим через а — событие, состоящее в том, что в выбранный момент имеется k ожидающих;
Ь — событие, состоящее в том, что в выбранный момент ведется разговор с х т х -f- dx, то эти события взаимно зависимы; наша задача — определить вероятность Р (aft) их совместного наступления. С этой целью рассмотрим сначала условную вероятность P,(aft) той же пары событий при условии, что застигнутый разговор имеет длину t. Мы можем записать в легко понятных обозначениях
Так как выбранный нами момент, если он застал разговор длины t, с одинаковой вероятностью мог попасть в любой момент этого разговора, то
где t — тесть возраст застигнутого разговора. Таким образом, Pf*(e) есть условная вероятность застать в произвольно выбранный момент k ожидающих, если известно, что в этот момент мы застали разговор длины t и возраста, заключенного между t — л: — dx и t — х. Согласно определению
— К dx J ик (t — jt) dF(t) 4“ о (dx).
X
pt(ab) = pt (b)Ptb(a).
(39.3)
(39.4)
С другой стороны событие b равносильно событию t — х—4x<^t — — х.
функции ик(х) (см. лемму 3) эта вероятность при dx—>О асимптотически равиа uk(t — х)*).
Таким образом, в силу (39.3) и (39.4) мы имеем
м'
— х) dx\t -|- о (dx) (/>дс); О (/<*).
Такова условная вероятность совместного наступления событий а и Ъ при условии, что застигнут разговор длины t. Нам остается теперь освободиться от этого условия. Согласно лемме 1 закон распределения длины застигнутого разговора есть
00
0(0 =— Я$ udF(u), t
и мы имеем по формуле полной вероятности
00
P(a,ft) = -J Pt(a,b)dG(t) =
О
00
= -j ик (t-x)j dG(t) + о (dx) =
X
00
=— % J ик (t—x) Y t dF(t) -f- 0 (dx)=
X
00
= — Xdx ^ uk(t — jc)dF (t)-J-о (dx),
что и требовалось доказать. Лемма 5.
— S «*+. (*) dF(x) = пк (к > 0);
О
Q0 00
- S Kj (х) dF(x) = nt {1 + S е-)ж dF(*)}.
А ' й '
¦) Непрерывность функции ик (г) вытекает из леммы 3.
Доказательство. По смыслу функции ик+1(х) [см. формулировку леммы 3] интеграл
ОО
— J«»+i (*)<*/*(*)
О
означает вероятность того, что в конце произвольно выбранного разговора мы будем иметь k 1 ожидающих. В случае /г^>0 это равносильно тому, что следующий разговор начнется при k ожидающих, вероятность чего равна я*. Этим доказано первое из двух утверждаемых равенств.
В случае k=0 вероятность того, что выбранный разговор окончится при одном ожидающем, будет меньше чем яа;-дело в том, что разговор без ожидающих может начаться не только при окончании предшествующего разговора с одним ожидающим, но и другим способом — появлением вызова в момент, когда линия свободна. Поэтому
СУ)
— $ и, (х) dF (.х) = я, — Q,
о
где Q 0. Для определения Q мы сложим между собой все установленные нами соотношения, замечая при этом, что
00 00
2 Я*=1 и 2 и*(дс)=1 *=0 *=0
при любом х; поэтому мы получаем
00
— $[1 —и, (*)] dF(x)t=\— q;
О
а так как в силу леммы 3 ut{x)==n()vt(x)=nte~>je, то отсюда
09
Qs=—я„ J е~Хх dF(x), (39.5)
о
и лемма 5 доказана полностью.
Лемма 6. При \ а | < 1, г > О
akuk{z) — e'Zia~i> 2 яАа*.
Доказательство. В силу леммы 3
2 и=Z Iv“ =
-~i »,i »x?|^=
Г=0 *=Г ' Г=0 * = r'
GO
= eU(e-1» 2 я*а*.
?=.0
что и требовалось доказать.
