Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейшие обозначения будут объяснены по мере их введения.
Лемма 1. Пусть 0<^а<^Ь. Вероятность застать линию в произвольно выбранный момент времени занятой разговором, длина которого заключена между а и Ь, равна
Доказательство. Обозначим через РТ(а, Ь) вероятность застать линию занятой разговором длины, заключенной между а и Ь*), в момент времени, произвольно выбранный в промежутке (О, Т). Лемма 1 утверждает тогда, что
Обозначим далее через Lr(a, b) суммарную длительность всех разговоров и частей разговоров длины (а, Ь), веду-
§ 39. Вспомогательные предложения
ь
Я J udF(u).
а
Ь
*) В дальнейшем мы такой разговор для краткости будем называть «разговором длины (а, Ьр.
щихся в промежутке (О, Т). Lr(a, b) есть случайная величина; если она принимает какое-либо значение /, то соответствующая условная вероятность застать разговор длины (в, Ь), очевидно, равна IjT. Поэтому в силу формулы полной вероятности
рг(в| &)=?Р{?*г(а, Ь)=1} ф=1м1г(<*, 1>),
где М — символ математического ожидания.
Для доказательства леммы 1 достаточно поэтому установить, что при Г—*-оо
ь
lim jr MZ,г (a, b) = — % J и dF (в). (39.1)
а
Пусть LT(a, b) означает суммарную длительность разговоров длины (а, 6), начинающихся в отрезке (О, Г). Так как, очевидно,
|LT(a, b) — LT(a, 6)|<?, а следовательно, и
|ММа,*) — М?г(«,*)Ю,
то (39.1) равносильно соотношению
ь
1 Шт(а, Ь) — A, J и dF(u) (Т-+ оо);
а
а так как М?г(а, Ь), очевидно, пропорционально Т, то последнее соотношение означает просто, что при любом 7>0
^ММ«.*)=—b$udF(u).
а
В частности, это соотношение будет установлено (и, значит, лемма 1 доказана), если мы убедимся, что
ь
lira - ММв, ь) = — * f tt dF<u)- <39.2)
Т-кх> 1 J
Пусть и— любое положительное число и Т<^и. В промежутке (О, Г) может тогда начаться не более одного разговора длины (и, u-\-du)> так что случайная величина LT(u, u-\-du) может, кроме значения 0, принять только значение вида a-^bdu, где 0<^6<Ч; такое значение она примет, очевидно, если (1°) в отрезке (О, Г) начнется по меньшей мере один разговор и (2°) последний из начавшихся в (О, Т) разговоров будет длины (и, u-\-du). Вероятность (2°) есть F(u) — F(u-\-du), а вероятность (1°) при Т—+0 имеет вид ЬТ-\-о(Т), где X— среднее число начал разговоров в единицу времени, совпадающее, очевидно, с параметром входящего потока вызовов. Таким образом, случайная величина LT(a, u-\-du) в рассматриваемом нами случае либо равна нулю, либо принимает значение вида и —в причем последнее — с вероятностью [XT-j-о (71)] [/=¦(«) — F(u-\-du)\. Таким образом,
Шт(и, а + du) = (и + 0 du) [АГ4- о (7)] [/=» — F (и 4 du)],
и следовательно, суммируя по а от а до Ь,
ь
Шт{а, &) = [— ХГ4-о(Г)] J udF(и).
а
Отсюда следует (39.2), а значит, и лемма 1.
Лемма 1, таким образом, доказана. При а = 0, 6=4 °° рассматриваемая в ней вероятность, очевидно, есть вероятность а того, что в произвольно выбранный момент времени линия окажется занятой. Мы приходим, таким образом, к важной формуле
09
a——k\jtdF(t) = Xs
О
(которую, впрочем, можно было бы усмотреть и непосредственным рассуждением).
Условимся называть разговором типа k(k — 0, 1, 2, ...) разговор, в начале которого имеется k ожидающих, так что введенную нами в § 38 величину пк можно определить как долю разговоров типа k среди всех ведущихся разговоров (вероятность того, что наудачу выбранный разговор окажется разговором типа k).
Лемма 2. Если в некоторый момент линия оказалась занятой, то условная вероятность того, что она занята разговором типа й, равла лл.
Доказательство. По определению величины я4 среди X р илоло^ов, ведущихся в среднем в единицу времени, мы будем иметь в среднем Хл4 разговоров типа k. Так как длительность разговора, как случайная величина, не зависит от числа ожидающих в его начале (т. е. от его типа), то средняя длительность разговори типа k равна s, а следовательно, суммарная длительность разговоров типа k, ведущихся в единицу времени, в среднем равна ХлА$=аяА; но условная вероятность, о которой идет речь в лемме 2, есть отношение этой среднсй суммарной длительности ко времени занятости линии, т. е. к а; таким образом, эта условная вероятность равна я4, и лемма 2 доказана.
Bw5.jp.iM теперь произвольный разговор длины *>0 и найдем вероятность uk(z) (0<^г^ /) того, что через промежуток времени г после начала этого разговора число ожидающих будет равно fe(fc = 0, 1,2,...). Так как длина и тим разговора взаимно независимы, то вероятность того, что в начале выбранного разговора будет г ожидающих, равна я,; если же это случится, то для того, чтобы по истечении времени г число ожидающих достигло k, необходимо и достаточно, чтобы было г ^ /г и чтобы за этот промежуток времени г поступило k — г новых вызовов, вероятность чего есть
