Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
к=о
еще в согласии с § 39 положим
тЖ5)—1]=Л=Л(&).
то получим
GO GO
<р (I) = 1 - а — (I) 5 4 dx 5 е<* dF{f) =
О X
00 t
= 1 — а — %х (6) S dFV) J J(5~wc dx=
0 0
=1—xx,i) I i=
0
00
Наконец, выражая % (?) согласно лемме 7, получаем <р (6) = 1 -«+(1 - а) А .*<Р ¦- ». =
=(1_a)h+|_^JlbJL_l =
I 6--7-W©-1]/
А
... X 1 — а
= (1—а)
Полученная таким образом формула
я»-, „'»(» -I '40-1>
is?
может считаться полным решением поставленной задачи, так как характеристическая функция <р (|) искомого закона рас>
пределения времени ожидания нами выражена через данные постоянные s и а=Ь и через характеристическую функцию ip(?) данного закона распределения F(i) длин разговоров.
В качестве первой иллюстрации формулы (40.1) рассмотрим, какое выражение с ее помощью получает среднее значение у времени ожидания. Мы имеем в виду <р(0)=1
а так как в силу (40.1)
m (?)—-----(1 — a) isl__
то
Ф* (I)_tfln<p(|)____1_______is — аф* (g) ___
Ф(1) d\ fc|-e[i|>(|)-l] —
_ а (I)-№«)-!]>
—о1ф(5) — 1]}
Предел этого выражения при ? —> 0 легко находится по пра-вилу Лопиталя и равен
«f(0)
2(1 — a) is *
Величина
^"(0) = ^* dF(t):
есть взятое с обратным знаком математическое ожидание квадрата длины разговора. Мы находим таким образом
a s,
iy.
или
2 i (1 — а) s
2 (1 — а) s
Эта простая формула, между прочим, показывает, что при данной загрузке линии а и при данной средней длине разгозора s время ожидания будет в среднем тем меньше, чем меньше дисперсия длин разговоров, т. е. чем более стандартизованы эти длины.
В качестве второй иллюстрации рассмотрим простейший случай показательного распределения
F(f) = e~9*
длин разговоров. Мы легко находим в этом случае Р ’ 'MS) — • 1 _,|5»
откуда
==___!__—ih (?\
is I l-i?s — WSb
и, значит, в силу (40.1)
*(»-(>-«er=f^T->-«+«-nri=®- («>-2)
Но
1 —«
1 —«____________S
1 — ос — i?s 1 — ос _ .. s
есть характеристическая функция показательного закона распределения с параметром (1—a)Is. Поэтому (40.2) показывает, что закон распределения времени ожидания есть
Р{уХ}=0 — a)E(t)-\-ae 0),
где
F(a_/ 1(«0);
\ 0(/>0).
Это согласуется с формулой
Р{у>*} = П<Г‘я?-х>‘,
полученной нами в конце главы 10 для случая л линий. В самом деле, при п— 1 мы имеем П=а=Х$, лр—К —
= ~----1 ~а. Член же (1—а)Е(/) при <>0 равен
нулю, а при t=0 обращается в 1—а = Р{у = 0}*
(числа в прямых скобках относятся к списку литературы в конце настоящих указаний на стр. 148).
§ 1. Этн элементарные сведения помещаются почти во всех современных курсах теории вероятностей; см., в частности, Гнеденко [1], Феллер [3], Фрай [4], Хннчии [5], Erlang [7].
§ 2. По-видимому, публикуется впервые.
§ 3, 4. См. § 1.
§ 5. См. Фрай [4].
§ 6. В этой форме публикуется впервые.
§ 7. Публикуется впервые.
* 8. См. Redheffer (9], где в другой форме решается та же задача.
§9, 10. Относительно функции <р„(/) см. Palm (81- Относительно функций <pk (t) (k > 0) публикуется впервые.
§11. Публикуется впервые.
§ 12. Публикуется впервые.
§ 13. Понятие потока с ограниченным последействием принадлежит Пальму [8]. В остальном содержание параграфа публикуется впервые.
§ 14. См. Palm (8].
§ 15, 16. Публикуется впервые.
§ 17, 18, 19, 20. См. Феллер [3], Фрай [4], Erlang [7].
§ 21. Эта эргодическая теорема является частным случаем известных общих теорем эргоднческой теории. В такой редакции, по-видимому, публикуется впервые.
§ 22, 23. Erlang [7].
§ 24. Публикуется впервые. Частные случаи см. Palm [8].
§ 25. Публикуется впервые.
§ 26. См. Palm [8].
§ 27. Публикуется впервые.
§ 28, 29, 30, 31, 32, 33. См. Palm [8].
§ 34, 35. См Колмо.орои 12], Феллер [3], Фрай [4], Erlang [7].
§ 36. 37 См. Erlang |7|.
§ 38, 39, 40. Вся глава 11 представляет собой существенную пере-
работку статьи автора |6].
ЛИТЕРАТУРА
1. Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, нзд. 2-е, Гос техиздат, 1954.
2. Колмо о ров А. Н., Sur 1е ргоЫёте d’altente, Мат. сборн. 1931, 38. № 1—2, 101—106.
