Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Хинчин А.Я. -> "Работы по математической теории массового обслуживания" -> 39

Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. — 236 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotapomatteoriiobslujivaniya1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 71 >> Следующая

?(0 — grU«+,)Tl =
= -а) + _
-[(*+1)т-(л+1)т]*+,} =
= (!-«) Е (к -4-1)1 ?=о
_[(*+1)т-(л+1)т]*+,}=
"v^ e->rt V
= (1—а) Е——/]г—[гт —(л+1)т]г} =
Г=1
Я+1 .
«г, ir.-Xrt
=о-«) ЕЦ—("-ог-
г=о
П-f 1
— О—а) Е~й-1" —(Л-Н)*Г> (37.2)
где суммирование по г можно вести от нуля, так как члены с г=0 в обоих суммах, очевидно, взаимно уничтожаются.
Формула (37.1) по нашему допущению верна при пх <^/<(л-{~ 1)т. Полагая в ней *=(л4-1)т, мы находим
п+1 г
*[(л + 1)т] = (1-а) X ~~f\~ \гх — (л +1) т]', (37.3)
г=о
где суммирование можно вести до л 1 потому, что член суммы с г=л-|-1, очевидно, равен нулю. Наконец, складывая между собой равенства (37.2) и (37.3), мы находим
п +1
g(t) = (!_«) 24j—
Г*SO
при любом t в промежутке (л-{- 1)т<* ^(л-|-2)т, что и требовалось доказать.
Таким образом, мы получаем для любого О
Р{у</}-/(0 = еи(1-Я,т)
*=0
где целое неотрицательное число л определяется неравен* ствами
лт</<(л + !)*•
Глава 11
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОДНОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 38. Постановка задачи и обозначения
В двух предшествующих главах мы, следуя классическим работам Эрланга, нашли закон распределения времени ожидания в двух наиболее простых предположениях относительно закона распределения длин разговоров: в случае показательного распределения (см. гл. 9) и (для однолинейных систем) в случае стандартной длительности разговора (см. гл. 10). Однако можно считать, что на практике мы встречаемся
с тем или другим из этих двух простейших распределения лишь в очень редких случаях. В большинства же приложений мы можем в лучшем случае рассчитывать лишь на некоторое приближение реального распределения длин разговоров к той или другой из наших двух предпосылок; и даже для такого расчета в очень многих случаях мы не имеем в сущности никаких оснований. Поэтому представляется весьма желательным построить метод, позволяющий определить закон распределении времени ожидания (или хотя бы важнейшие егс статистические характеристики) при возможно широких предпосылках относительно распределения длин разговоров.
В своей обшей постановке эта задача приводит к расчетам, трудно обозримым по своей сложности. Поэтому во всем дальнейшем мы сосредоточим наше внимание на практически весьма важном случае системы с одной линией*). Зато в отношении закона распределения длин разговоров мы ограничимся естественным требованием существования конечного математического ожидания, остазляя этот закон во всем остальном совершенно произв'льным. Мы увидим, что при этих предпосылках задача отыскания закона распределения времени ожидания принципиально решается до конца сравнительно несложными приемами.
В течение всей настоящей главы мы будем иметь дело с пучком из олной линии, на которую поступает простейший поток вызовов с параметром X. Вызовы, заставшие линию занятой, ожидают ее освобождения и занимают ее в порядке их поступления. Длины разговоров не зависят ни друг от друга, ни от числа ожидающих. Вероятность того, что длина произвольно выбранного разговора окажется больше чем /, мы будем обозначать через F(t), так что средняя длитель-
*) последние годы появились многочисленные работы, посвященные однолинейным системам, в которых, с одной стороны, были получены интересные новые общие результаты, а с другой, иамечгиы дру1ие подходы к решению возникающих вопросов Мы здесь 01раничимся указанием лишь на небольшое число статей: D J Kendall Some problems in the theory of queues
Journ Royal Slat Soc., Ser. В 1951 151—173.
D. V L i n d I e y. The theory ol queues with a single server,
Proc Camr. Phil. See., v 48. 1952, 277—289.
L T a k a с s. Investigation oi waiting time problems by reduction to Mdrkov processes, Acta Math. Acad. Sci. Hungar, v. 6, 1955, 101-129 —б. Г.
ность разговора будет
СО
_ J tdF(t) = J F(i) dt = s.
о
о
Кроме того, мы вводим следующие обозначения, которыми будем пользоваться на протяжении всей главы:
а — вероятность того, что в произвольно выбранный момент времени линия окажется занятой; иначе говоря математическое ожидание суммарного времени занятости линии за 1 час (часом мы будем условно называть принятую единицу времени);
ji^(fe = 0, 1,2,...) — вероятность того, что в начале произвольно выбранного разговора мы .будем иметь k ожидающих;
vk(t) = e~'i (Х/)*,/г! — вероятность тою, что в течение промежутка времени длины / на линию поступит k вызовов;
Y (случайная величина)—вреуя ожидгния для вызова, поступившего в произвольно выбранный момент времени.
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed