Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Если мы условимся обозначать через Е/ математические ожидания, вычисленные в предположении, что вызов застал j занятых абонентов, то в силу известных правил теории вероятностей:
ф (|) = Е(/*)=% P(j) Ej (е^) = 2 P^>EJ ^ е'П)-/=Го ;=0
Но при данном значении / величины т и Т взаимно независимы, так как, очевидно, длительность разговоров /— 1 ожидающих абонентов не зависит от того, сколько еще времени будет длиться застигнутый разговор (величина Т
§ 6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ 161 только потому зависела от т, что / зависело от т). Поэтому:
<Р (I) = ДЯ U) Е, (е'Ъ) е, (е>*) =
=Р( 0) 4- ?РЦ) Е, (^) Е) («"*>.
После достигнутого таким образом разделения величин т и Т дальнейший метод вычисления уже ясен. Прежде всего, легко вычисляется Et (е*т;). В самом деле, если мы обозначим через ’ф(Е) характеристическую функцию длительности разговора, т. е. положим
00
¦ 16) = $ в'7*/юл.
о
и за >етич, что Т есть суммарная длительность /— 1 вза-им ю независимых разгозоров, то мы без всяких вычислений можем написать:
= и=1г 2, ...).
Далее, в силу формулы (6):
•Xi
Р (J) Е, = $ РЦ) eix<Py (х < т < л: -f dx) =
О
00 00
rf* $ «,-1(*-*)Л0 л
О X
(/=1, 2, ...),
откуда
00 00 ( оо ч
Ф16) =/>«» + ? jS'idxj/if) и,(/—де>|л. (7)
Пользуясь выражением функции Uj (х), очень легко показать, что
2a/Uj (г) = **• (" ~1} г 1 Р(0) 2 а**1 Р(Л)|,
/г« \ *»l I
162 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНОЙ ОЧЕРЕДИ откуда в силу формулы (7)
где положено:
оо
Полагая
находим:
X (I)=Р(0) +(2 № (1)1*-1 P(k).
w 00
Ф (i) = Я(0) + ^ х (1) J <• - г) dx J е"’/(*) dt =
о X
00 t
= р(°) 4-? X (I) J**'h7(0 dt»> Ле =
о о
со
=Р(0)«fI* J [1 -ч>] л=
о
Но в силу формул (4) и (8): х(|)=P(0)+^j J/W № (1)]*“» W - Р(0)J rfjt=
о
= р(0) lillzii-L-Y it\
*<s) ^Х16Ч(в*
откуда
*(E>“P(0>W^-
и следовательно: или
*®“-{%*}'
Эта замечательная по своей простоте формула позволяет с большою легкостью находить выражения моментов величины у через моменты длительности разговора; для этого надо только вычислять последовательные производные <р(?) и, деля их на соответствующие степени /, полагать в них
1 = 0. Так, уф'(0) = у дает нам прежнюю формулу (5).
Далее,
_<p-(o)=?(v‘)=v+37raiy_,
где
00
О
Отсюда дисперсия:
»-№>=?№->-?=?+з1г^- <9>
Эта формула показывает, что среднее квадратическое отклонение величины у всегда превышает ее среднее значение; этим хорошо объясняется то явление, что даже при небольшом среднем времени ожидания мы часто имеем дело со сравнительно большими задержками. Так, например, при условии стандартной длительности разговора 8 сек. и при а=0,6 мы имели у = 6 сек. При тех же условиях формула (9)' дает а(\)>8 сек., так что при среднем времени ожидания 6 сек. не редкостью будет задержка в 15 сек. и более, что является уже ощутительным.
О СРЕДНЕМ ВРЕМЕНИ ПРОСТОЯ СТАНКОВ*)
1. Решаемая в настоящей статье общая задача имеет значение для всех тех отраслей промышленности, где наблюдению одного рабочего одновременно поручается несколько станков (или других установок) одинакового типа, причем функция рабочего состоит в выполнении операций, надобность в которых для каждого отдельного станка возникает в случайном порядке (ликвидация неполадок, мелкий ремонт и т. п.).
Момент, в который станок начинает требовать той или иной операции, мы будем называть моментом его остановки. Время, требующееся для совершения той или другой операции, может быть различным для различных операций и допускать какие угодно вариации для одной и той же операции.
В дальнейшем мы принимаем следующие обозначения:
К — число станков, поручаемых одному рабочему; xdi — вероятность того, что станок, работающий в момент t, остановится ранее момента (dt предпола-
гается весьма малым);
f(t)dt — относительное число операций, для которых потребное время заключено между t и t-\-dt.
Эти три элемента являются данными. Ищется среднее время ожидания у, т. е. среднее значение промежутка времени, протекающего от момента остановки до начала соответствующей операции; при этом предполагается, что рабочий обслуживает станки в порядке очереди, т. е. в порядке их остановок.
