Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
А=0
Для установления общего вида регулярного потока без последействия имеют существенное значение свойства функций %k (t); изучению этих свойств и будет посвящен конец настоящего параграфа.
Лемма 9. При 0^а<^р, л^1 и достаточно малом a« in ф ф<»> , г, _ Ф{,<>... ф(,«> . ,ач
~~д& иг~1~2* 1 ••• ** ф8 ' '
здесь положено Ф=Ф(х, а, Р), ф(<| —^; коэффициенты сцх.../л зависят только от пи индексов /„ ..(„ (и не зависят от а, р и х); суммирование распространяется на все системы индексов г,, in, подчиненные условиям
П
п (1<6<л), S 1ь=п-k=1
Соотношение (8) представляет собою элементарную формулу дифференциального исчисления, имеющую место для любой л-кратно дифференцируемой функции Ф (я) [Ф(0) = 0]. Доказательство автоматически проводится индукцией по л [при л= 1 формула (8) тривиальна] и может быть предо* ставлено читателю.
Лемма 10. Пусть 0^а<^р, л^1 и данный поток— регулярный и без последействия. Пусть а=а0 <^а, <^.. .< <С®*=Р. d(s)— max (ar — а,.,). Тогда в формуле (7)
S
Х„(Р)-Х„(«)= Нш ЕгТоГ " a]'
Предварительное замечание. В силу леммы 8 в правой части (9) все знаменатели отличны от нуля.
Доказательство. В ходе последующего рассуждения мы под Ф1*’ (г = 0, 1, ...) всегда будем понимать значение производной -Ф при х — 0.
Так как в силу (7)
ЫВ-ЬМ-^РУ*}.-.
то соотношение (8) при л ^ 1 дает
, v 1 I Ф‘П) I V Ф(/>>.. .ф(/»>1
Хп Ф) Хп (®) — я! ( Ф 4" ••• фД } •
Так как, очевидно, Ф(,) = i\vt (а, Р) (t^sO), то отсюда
%п (Р) — %и (а)“о"(а, р) +
, ^ vlt (а. Р).Р)
+ 2> -'»--------К (а. P) j“----• (10)
где область суммирования определяется соотношениями
It
О (1 <А<Я), 2 1А = Л.
*=1
а коэффициенты ft/, подобно прежним я/,... /„, не зависят
от а и р. Если мы разобьем промежуток (а, 0) на ? промежутков (<%/_,, af) (1 ^ s), как это описано в формулировке
леммы 10, то соотношение (10) имеет место для всех про* межутков (а,.,, а,), и притом с одними и теми же коэффициентами ft/,... /„. Написав все эти соотношения и складывая их почленно, мы получаем
x,(P)-x.w=i +
Г=1
I V4 ». (аг-1* аг) • • • vi„ (“»•-1» «/¦)
+2>-'"Z-------------кк-,.М"-------------* (|1)
Г=1
Чтобы доказать лемму 10, нам надо только установить, что при d(s) = max (ar — ar_,)—*-0 второе слагаемое пра-
вой части формулы (11) становится бесконечно малым. Это же в свою очередь будет доказано, если мы убедимся, что для любой фиксированной, принадлежащей области суммирования системы индексов /„ ..., 1п величина
«У. («г-1. Or) О/, («-_l. Or) VU (а'-1’ gf)
2^ 0,(аг_„ аг) »в(аг_„ аг) '-' »в(аг_„ а,)
rs I
стремится к нулю при d(s) —>О.
С этой целью заметим прежде всего, что при п — 1
П
область суммирования 0«?/А<^л (1 t^ke&n), У, ik=n стада!
новится пустой (второе слагаемое правой части (11). Поэтому мы допустим, что п у 1 и что для всех чисел п лемма 10 уже доказана).
Обратимся теперь к исследованию величины S. В силу леммы 7 при любом е>0 и достаточно малом d(s)
1 аЛ<е
и, следовательно,
ч5!!;:«,Гг)<г^ <><'<*>•
Но при 0 мы имеем
а,)<1 — vt(ar_lt аг),
и, следовательно,
аг) <1-в О <'<*).
в то время как при /*=0 это отношение равно 1. Нов силу
П
условий /*<^л(1 ^ k ^я) и 2 ik—п среди индексов
к= I
ik{} найдется по крайней мере два положительных.
Пусть, например, такими будут индексы i и /. Тогда приведенные выше оценки дают
°1 (”<•-» «>) v<(«г-i. «-) ^ е А У((аг_и аг) Z* vlt(ar_J, ar) ar) ^ 1 —е2* о«(аг_„ се,}
) ’
Так как 1<^п, то мы можем принять, что лемма 10 уже доказана с / вместо п; поэтому последняя сумма при d(s)—* 0 имеет пределом /,((5) — А так как е при
достаточно малом d (s) может быть выбрано сколь угодно малым, то S—*• 0 при d (s) —> 0, чем лемма 10 и доказана.
Лемма 11. При 1, %п (<) есть неубывающая функция от t; ряд
2 я[х»(Р) — Х»(«)]
«SO
сходится при любых а, 0; для всех О О
2 Хп (0=0.
Доказательство. Первое утверждение непосредственно вытекает из леммы 10, в силу которой Хп(Р)—
— Хп (а) 3* 0 (Р 5* а). Далее, из леммы 10 следует при любом
т s t т
Х'ЫР)-*, *“>1=. Е ? to< ew«<
i=t r= I 1=1
< Иш sup ? ^ ~ ) = А(р) _А(СТ)
d($)-*о ЩК&г-ч аг)
4 J Г=1
[последнее равенство вытекает из того, что в силу леммы 7 vt(ar_l, аг) при d(s)—>-0 стремится к 1 равномерно относительно г (1 sgrs)]. Так как правая часть этого равенства не зависит от т, то доказано и второе утверждение леммы. Наконец, из этого второго утверждения следует, что формула (7) имеет место при |х|<1. В частности, при х— 1 это дает
