Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Хинчин А.Я. -> "Работы по математической теории массового обслуживания" -> 52

Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. — 236 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotapomatteoriiobslujivaniya1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 71 >> Следующая

tsl *В1
+ 2 ¦*(<—*. *+*)• Л> m
Пусть е^> 0 задано произвольно. Закрепим сначала некоторое А4, 0<^А4<^<, и выберем число т столь большим, чтобы было
тогда и подавно при 0<^A^At
Я„(А)<е.
и, следовательно,
Л(*+А) — Л(/ — A)<ft2^ft(/ — A, t-j-А)-|“в
(0<А<А„). (4)
Но здесь
“ф*^ — А, < + А)</»1|>,(/ — А, < + А)<
<Zm[\ —vt(t — А, < + А)]. Если pt(f)= 1 (т. е. t — регулярная точка потока), то !—©,(* — A, t-\-h) —> 0 (А —0);
поэтому при достаточно малом й^>0
—А, /-j-A)<e,
?=1
и неравенство (4) дает при достаточно малом й^>0 Л(* + А) — Л(* — А)<2в;
следовательно, Л (/ -f- 0) = А — 0), и второе утверждение леммы 3 также доказано.
Лемма 4. Финитный поток может иметь не более счетного множества сингулярных точек.
Доказательство непосредственно вытекает из леммы 3.
Лемма S. Пусть L — финитный поток, и V — поток тех событий потока L, моменты наступления которых отл пни от некоторого фиксированного момента tt. Тогда ta есть регулярная точка потока V.
Доказательство. Пусть 0<^А4<^/4. Обозначим через wn вероятность того, что в области
Нф< (А.)
наступит по меньшей мере одно событие потока L'. Если промежуток (*4— йв, i9-\-ht) содержит события потока L', то то же самое должно иметь место и для по меньшей мере одной из областей (Д„) (л=1, 2, ...). Поэтому, если обозначить вообще через w (а, р) вероятность наличия событий потока V в промежутке (а, Р), мы будем иметь
w(*, — й4, *4 + А4)< J wn.
nssi
Аналогичным образом находим для любого натурального числа k
w —Р’ X wn- (б)
' ' n=A+i
Пусть теперь vnk означает вероятность того, что в область (Д„) попадет k событий потока L’; тогда
где (in означает математическое ожидание числа событий потока V в области (Д„). Так как поток L (а следовательно,
СО
и поток L') — финитный, то ряд сходится; в силу (б)
/1=1
00
сходится поэтому и ряд Но тогда (5) показывает,
Л=|
что w(tt — к, /4-|-А)—>О (А —> + 0), и, следовательно, tt есть регулярная точка потока L\ ч. т. д.
Условимся во всем дальнейшем называть финитный поток регулярным, если он не имеет ни одной сингулярной точки, так что любое i (0 ^ t оо) является для него регулярной точкой. Тогда из леммы 3 непосредственно следует Лемма 6. Необходимым и достаточным условием регулярности потока служит непрерывность его ведущей функции.
Наконец, нам понадобится еще следующая Лемма 7. Если 0<а<р и данный поток — регулярный, то равномерно в отрезке а^кр
t + h)-+1 (А—> + 0). Доказательство. В силу леммы 1
< 2 kvk(t — h, * + А)=Л(/ + А) —Л(*—A),
Asl
и утверждение леммы 7 вытекает из равномерной непрерывности функции А (0 в любом конечном отрезке.
§ 3. Леммы о регулярных потоках без последействия
Лемма 8. Для любого регулярного потока без последействия и любых а, Р(0<а<^р)
«.(а. Р)>°-
Доказательство. Допустим, что vt(a, Р)*=0, и положим у=-5-(а+Р). Так как данный поток—без последействия, то vt(a, P)=®0(a, Y)®o(Y« Р) и> следовательно, либо vt(a, y) = 0, либо (y, Р) = 0- Безграничное продол-
жение этого процесса известным образом приводит нас к точке обладающей следующим свойством: при любом О промежуток (?— А, ?-(-А) содержит другой промежуток (а, Ь), для которого ©„(а, Ь) = 0; но тогда и подавно при любом А > 0 мы имеем ©0 (? — А, ? -{- А) = 0, откуда рл (?) = 0, что стоит в противоречии с регулярностью данного потока. Лемма 8 доказана.
Условимся во всем дальнейшем называть функцию
ОО
Ф(ж, а, р) = 2 Р)**
к=о
(где ряд в правой части при любых a, р сходится по меньшей мере для |х|^1) производящей функцией данного потока. Если этот поток — регулярный и без последействия, то по лемме 8 va (а, р)^> 0, и, следовательно, разложение
ОО
In Ф (х, а, Р) — S Щ («» Р) х*
ks= о
функции 1пФ(х, а, Р) по степеням х сходится в некоторой окрестности точки х = 0. По известным свойствам производящих функций мы имеем для потоков без последействия при а<у<Р
Ф(х, а, Р) = Ф(*, а, у)ф(*. Y. Р).
и, следовательно,
1пФ(дг, а, Р) = 1пФ(л;, а, у) + 1пФ(*. у, Р), что в свою очередь имеет следствием
со* (а, Р)=о)А (a, Y)4-®ft(Y. Р) (*^0).
Поэтому, если положить (оА (О, /) = (t) (t 3* 0, 0), то
юл(а, Р) = Х*(Р) — Х*(а)> и мы получаем в некоторой окрестности точки х=0 разложение
In Ф (*, a, р)*= 2 [Xk (Р) — U («)] **• I7)
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed