Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Хинчин А.Я. -> "Работы по математической теории массового обслуживания" -> 54

Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. — 236 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotapomatteoriiobslujivaniya1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 71 >> Следующая

0=1лФ(1, а, Р)= 2 ЫР)-Х*(«)],
*=о
чем доказано и третье утверждение леммы 11.
Лемма 12. Каждая функция х*(0 (А = 0, 1, ...) всюду непрерывна.
Доказательство. Допустим, что для некоторого и некоторого t ^ 0
Xk(t+0)-xk{t-0)>0.
Так как все функции х*(0 (*3*1) — неубывающие, то тогда
х. (*+о)-х,(*-о)=-2 ч- о)—х.% —о>] <о.
k=i
Но
1п Ф (0, t — A, * + А) = Хо (* + *) — Х»(*~ *)•
Поэтому при достаточно малом й^>0
InФ(0, t — h, а,
или
Ф(0, t — h, t-\-h)=vt(t— A, * + *)<*-', где а—положительная постоянная. А отсюда следует, что lim — А, <-J-A)sge“e<4,
*->+#
что противоречит допущению о регулярности данного потока. Этим лемма 12 доказана.
§ 4. Общая форма регулярных потоков без последействия
Леммы § 3 в своей совокупности показывают, что производящая функция Ф(х, а, 0) любого регулярного потока без последействия имеет вид
Ф (*, а, р) = ехр { 2 [lk (Р) — X» («)] •**} . (12)
где функции %k(f) (Ха (°) = 0) обладают следующими свойствами:
1° Все функции %k(i) всюду непрерывны.
2° При любом k функция %k(t) монотонна (неубывающая при и невозрастающая при k = 0).
СО
3° Ряд 2 сходится при любом *>0.
Л=0
<30
4° Сумма 2 Х*М“® при любом а=о
Теперь мы докажем обратное предложение: если
Ф(д:, а, Р) есть функция вида (12), где функции %k(t) удовлетворяют требованиям 1°—4°, то существует регулярный поток без последействия, производящая функция которого совпадает с функцией Ф(дс, а, Р).
Так как в силу свойства 2° разность %k (Р) — %k (а) при А^>0 и а<^Р неотрицательна, то, как известно, существует поток без последействия Lk, для которого
„<*> (СС) р) = i ®ХР {— [Х« (Р) — X* («)]} (“)]- (m=kr)
I 0 (т ф. О mod k)
(а, Р) означает вероятность того, что в промежутке (a, ft) наступит т событий потока Ift]; требуемое для этого условие, чтобы при <*<'Y<CP всего было
г?>(а, р) = Д^*>(а, р),
легко проверяется непосредственным подсчетом. Производя* щая функция потока Lk равна
<&*(•*. а, Р)=» 2 Ч* (<*> Р)*г*=
г=о
—ехР {— hk (Р) — X* (а)]} X rXft(P)7lXft(g)]r *'*“
“ ехР {[Xk (Р) — Xk («)] (** — !)}•
Рассмотрим теперь суперпозицию L определенных нами потоков /.„ Lt, ..., ?„, ..., которые будем предполагать взаимно независимыми. Легко убедиться, что производящая функция потока L (который, очевидно, есть поток без последействия) совпадает с
F(x, а, р) = П Ф*(*. «, Р).
* = 1
В самом деле, если положить
F(x, а, Р)== 2 *V(«. Р)*'
г=«
(этим соотношением определяется число vr(a, Р)), то, очевидно, для любого
vr(a, Р)=2фл(а> Р)Ч?(а* Р)---^(а» Р)-.-. (13) где суммирование распространяется на область
ОО
0 (к5*1), 2 гл=шг.
А=1
Но в силу взаимной независимости потоков Lk сумма в правой части (13), очевидно, равна вероятности того, что
в промежутке (а, 0) наступит г событий суммарного потока L. В силу (13), число г»г(а, р) совпадает с этой вероятностью, а это и значит, что F(x, а, Р) есть производящая функция потока L.
Но в силу свойства 4° мы имеем
F(x, а, р)= П <М*. а, р) =
&2S1
= ехр |jg [tk (р) — х* («)] (**— 1)} =
= ехр{ S [Х*(Р) —Ха («)]**—2 [Х*(Р) — Х* («)]} = 1*=» *=1 )
= ехр | Д [X* (Р) — X* («)] ** j — Ф (*, а, р).
Этим показано, что данная функция Ф(дс, а, Р) действительно есть производящая функция некоторого потока без последействия L. Нам остается только убедиться, что построенный иами поток L — регулярный.
В силу свойства 3° для любых е^> О и <>0 найдется такое N^>0, что
Д*Х*(0<». (14)
Так как поток Lk(k= 1, 2, ...) имеет непрерывную (в силу свойства 1°) ведущую функцию k%k(t), то он регулярен в силу леммы 6. Следовательно, для любоЦ фиксированной точки Y (° <С Y < *) ПРИ достаточно малом А0 0 и при
0<А<А»
2 [1-»(*)(у-А, у + А)]<в. (15)
1
Но при 0^а<^р
1 _ *,(*) (tt) р) = 2 «<*> (а, р) < 2, Мл) («. Р) =
1 г р= 1
= * [х* (Р) — Х*(а)1.
[так как &%*(/) есть ведущая функция потока ?,*1. Из (15) и (14) следует поэтому при 0<^ А<^А0, 0<^\ —
2 [i_«(*)(Y_Af y + A)]< 2 [i— <4y — h> Y+A)] +
»=! Л=1
+ 2 [1-ЧЛ)(0, 0]<e+2*x*w<Jte.
*>ЛГ k>N
Поэтому для суммарного потока L мы получаем при 0 А <^А0
1 — V,(Y—А, Y+йХ 2 [1— ^(Y — A. Y + a)]<28
k=t
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed