Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
/=0
Так как it (в силу леммы 5) есть регулярная точка потока К{, то при А—> + 0
Поэтому соотношение (16) при А—*--|-0 дает в пределе
pk(t()= lim vk — A, *,-fA) =4fj> (/5s 1, k^O), л-*+»
Ч. Т. Д.
Резюмируя результаты настоящего параграфа, мы приходим к следующему предложению.
Теорема II. Всякий финитный поток без последействия может рассматриваться как суперпозиция двух взаимно независимых потоков того же типа, из которых один—регулярный, а другой — сингулярный; ступенями t( сингулярной компоненты служат при .том сингулярные точки данного потока, а характеристическими вероятностями (ф—соответствующие числа pk(t{) (t^s 1, А^зО) данного потока.
Непосредственно очевидно, что и обратно — любая супер.-позиция описанного типа представляет собою некоторый финитный поток без последействия.
Теоремы I и II вместе взятые дают легко обозримое описание совокупности всех финитных потоков случайных событий без последействия, что и было целью настоящего исследования.
ЛИТЕРАТУРА
[1] А. Я. X и н ч и н, Математические методы теории массового обслуживания, Труды Матем. инст. им. Стеклова, 49, (1955), 1-122.
[2] R. М. Redheffer, Math. Magazine, 26, (1953), 185—188.
[31 С. Palm, Intensitatsschwankungen im Fernsprechverkehr, Ericsson Technics, 44 (1943), 1—189.
[4] L. Takacs, Acta math, hung., 5, (1954), 203—236.
[51 D. Marzewski, Studia math. (Warszawa), 13, No 1, (1953), 130—136.
[61 Фрай Торнтон, Теория вероятностей для инженеров М. —Л., ГТТИ, 1934.
О ПУАССОНОВСКИХ ПОТОКАХ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ*)
§ 1. Постановка задачи
В классических приложениях теории потоков случайных событий (например, в теории распада атомов и теории массового обслуживания) рассматривается, как известно, в большинстве случаев лишь простейший вид таких потоков, когда вероятность наступления k событий в произвольно взятом промежутке времени длины t дается формулой
где — постоянная; такой поток предполагается обычно потоком без последействиях это означает, что для любой конечной подгруппы попарно не пересекающихся промежутков времени числа наступающих в этих промежутках событий представляют собой взаимно независимые случайные величины.
Причиной столь широкой распространенности потоков специальной формы (1) служит, как известно, то, что эта форма для некоторого весьма обширного класса потоков фактически является единственно возможной. Именно, если к требованиям стационарности и отсутствия последействия добавить еще условие
= « —°). (2)
где i|>,(0 означает вероятность наступления по меньшей мере двух событий в промежутке времени длины t, то рассматриваемый поток обязательно будет иметь форму (1)
*) Теория вероятностей и ее применения, т. 1, вып. 3> 1956, стр. 320-327.
(см., например, [1], гл. 1). Обратно, всякий поток бее последействия, имеющий форму (1), очевидно стационарен и, как легко убедиться, удовлетворяет условию (2). Таким образом, три перечисленных свойства — отсутствие последействия, стационарность и условие (2) — полностью характеризуют собою класс «пуассоновских» потоков (1).
Однако в приложениях все чаще появляются задачи, требующие исследования нестационарных потоков событий без последействия. За исходный пункт такого исследования обычно бывает целесообразно принять «ведущую функцию» Л (t) данного потока — математическое ожидание числа событий, наступающих в полуоткрытом промежутке [0, t). В стационарном случае A(t) = Kt, где Я,^>0 — постоянная; в общем случае Л (t)— любая неубывающая функция от / [Л (0 = 0 при t 0]. Обычно при этом предполагают, что поток имеет «пуассоновскую» форму
М«, Р)=«~1А «> - a(«)j (3)
[vk (а, Р) означает вероятность того, что в промежутке (а, Р) наступит k событий данного потока; задание всех функций vk (а, Р) (k ^ 0, Osga<^P), очевидно, дает полное описание данного потока без последействия]. Однако форма (3) при заданной ведущей функции A(t) отнюдь не является единственно возможной: ведь даже в стационарном случае, как было упомянуто выше, форма (3) [в этом случае совпадающая с (1)] имеет место лишь при выполнении дополнительного требования (2). С другой стороны, в моей недавней работе [2] непосредственно показано, что общая форма потоков без последействия с данной ведущей функцией A(f), даже в случае непрерывной A(f) выходит далеко за пределы формулы (3).
Таким образом, естественно возникает вопрос о том, какими свойствами должен обладать поток без последействия для того, чтобы иметь простейшую (почти всегда принимаемую в приложениях) «пуассоновскую» форму (3); дело идет при этом об отыскании возможно простого (необходимого и достаточного) дополнительного требования, подобно условию (2) в стационарном случае. Решение этой задачи означало бы распространение на нестационарный случай той фундаментальной теоремы, которую мы приводили в самом
начале для случая стационарного. От данного потока при этом, кроме отсутствия последействия, мы будем требовать только существование ведущей функции А (0 [т. е.А(/)<^+о° при
