Метод молекулярных орбиталей - Фудзинага С.
Скачать (прямая ссылка):
I2 4- I2 + 22 = 6.
В общем случае
/« = /i -(- /| -Ь • ¦ • == Л» (3.3.23)
а
где 1а — размерность матриц а-го неприводимого представления (разумеется, 1а — целые числа).
Число неприводимых представлений, содержащихся в приво, димом представлении. Для определения этого числа достаточно-зная простые характеры группы, воспользоваться соотношениями
Г= CjTi С2То,-\- • • • = ? СаГи,
а |
с«=1г2х(#)хГа(ЯГ. {3-3'24)
R
В качестве примера рассмотрим (4 Х4)-матрицы табл. 3.3. Под считаем сначала характеры этих приводимых матриц:
j Е oi о2 О3 Cf Сз Х(?)|‘4 2 2 2 1 1
Далее, воспользовавшись простыми характерами Гь Г2, Г3 из табл. 3.10, находим
Ci -y[4xl + 2xl+2xl+2xl + lxl + lXl]-2,
С2 = -1[4Х 1 + 2х;(— 1) + 2х|(— 1) + 2х(—1)4- 1 х 1 + 1x1] о, С3= —l4x2+1 X (-!) + ! X (-1)1=1.
Спедовательно, результат приведения выражается формулой
Г = 2Г1 + Г3)
равносильной выводу, к которому мы пришли выше в п. (б).
Проницательный читатель, возможно, заметил, что соотношения (3.3.24) напоминают формулы разложения произвольной функции по ортогональной системе функций. Оказывается, что и в самом деле характеры неэквивалентных неприводимых представлений удовлетворяют в общем случае соотношениям «ортогональности»
S ХГ“ Ф) хГР {RT =0 (Гв ф Гр); (3.3 25)
R
на частном примере группы C3J их легко проверить при помощи табл. 3.10. Ясно, что эти соотношения тесно связаны с формулами (3.3.22), (3.3.24); величины
ЬсГ“(?)} (0=1,2....)
можно рассматривать как совокупность взаимно ортогональных векторов «длины» h. За подробностями читатель может обратиться к учебникам теории групп.
(г) Произведение представлений
В качестве примера рассмотрим два представления некоторой точечной группы — представление (ЗхЗ)-матрицами А (базис tpA,i. Фа,г. Фа з) и представление (2х 2)-матрицами В(базисфв>1, фв>’2). Результат действия операций симметрии на функции базиса выражается формулами
^Фа,1 = Фа, 1^п + Фа, 2^21 + Фа, з-^зъ
А
а, 2 = Фа. 1^12 Фа, г-^гг Ч" Фа, зАг* (3.3.26)
^Фа, я — Фа, 1^13 + фА, 2А.4 + Фа, .чДи!
Если теперь в качестве новых функций базиса выбрать совокупность попарных произведений функций (фА;1, фА,2, фА)3) и (фв,1.
<Рв, а)
(Фв.лФа.ь Фв,1Фа>2> Фв. 1Фа, з> Фв, йФа, i> Фв. зФа, 2> Фв, лФа. з)>
(3.3.28)
то результат действия операций симметрии группы на новые функции базиса выразится формулами
R (Фв, 1ФЛ, l) = №в. l) (ЯфA, i) =
= (Фв. |Вц Фв, 2®2i) (фл. iAii -j- ФА, 2^21 Ь Фа, 3Д31) =
= Фв, 1Фа, iBnAn -|- фв_ !фА, Фв, i'pA, зBuAsl 4-
"П Фв, 2Фа, 1^21 Ап -(- фв> 2фА, 2^21^21 4“ Фв, 2Фа, 3^21-^31 >
R (фв. 1Фа, а) = (&Рв. 1) (RVa, 2) = • • м
откуда ясно, что базису (3.3.28) соответствует матрица представления
С = В® А,
совпадающая с определенным в начале данного параграфа прямым произведением матриц А и В (произведением Кронекера). Легко проверить непосредственно, что
Тг (С) = Тг (В ® А) - Тг (В) Тг (А) = ? Ви ? А„\ (3.3.29)
* V
такое соотношение, конечно, выполняется и в общем случае. Итак, матрица С, строящаяся как прямое произведение матриц А и В двух представлений одной и той же группы, является матрицей некоторого представления той же группы, причем между
характерами %Л (R), %в (R), %с (R) матриц А, В, С имеет место соотношение
yAR)-xAR)xa(R)- ,з.з.зо)
Однако, даже если матрицы А и В неприводимы, матрица С, вообще говоря, приводима. В последующих главах мы неоднократно будем пользоваться этим обстоятельством.
До сих пор мы работали только с вещественными ортогональными матрицами, между элементами которых имеют место соотношения
I МиМц = s MlkMjk = 6if, (3.3.31)
k k
такие матрицы — частный случай унитарных матриц, элементы которых удовлетворяют условиям
? MltMki = I = 6f/, (3.3.32)
к к
или, более сжато
М+М = ММ* = 1, (3.3.33)
где М+ — матрица, транспонированная к М и комплексносопряженная с ней. Можно пользоваться также и неунитарными матрицами. Но поскольку известно, что при ортонормированных функциях базиса матрицы представления обычно унитарны, в данной книге мы будем применять только унитарные, а чаще всего — вещественные ортогональные матрицы.
ЛИТЕРАТУРА
1*. Любарский Г. Я- Теория групп и ее применение в физике. —М.: Гостех-издат, 1957.
2*. Петрашень М. И., Трифонов Е. Д. Применение теории групп в квантовой механике.—М.: Наука, 1967.
