Метод молекулярных орбиталей - Фудзинага С.
Скачать (прямая ссылка):
Г = Г1 Г2 или Г = Г1фГ3 (3.3.18)
и говорят, что представление Г является прямой суммой представлений 1\ и Г2- Применяя матрицу (3.3.16) к матрицам табл. 3.6,
обнаруживаем, что представление Г' тоже приводимо:
Г'=Г; + Г2 или Г' = Г1®Га; (3.3.19)
результат приведения показан в табл. 3.8.
Выше мы видели, что одномерное представление 1\ совпадает с соответствующим тождественным представлением табл. 3.4. Одного взгляда на табл. 3.8 достаточно, чтобы понять, что одно-
Таблица 3.8. Приведение представления Г'
мерные представления Г! и различны и не могут быть переведены друг в друга никаким преобразованием вида (3.3.15). -Следовательно, I” и 1\ — неэквивалентные представления точечной группы C3v. Являются ли также неэквивалентными представления Г-, и Го? Оказывается, нет. Эти представления различаются только знаками матричных элементов у матриц, соответ ствующих операциям с^, 02, ^з- Легко видеть, что представления Г2 и Гг переводятся друг в друга при помощи матрицы
' 0 г ia 0 ---г
т = --- 1 0 , т1 .1 0
следовательно, они эквивалентны.
Остается еще несколько важных вопросов. Прежде всего допускает ли представление Г2 (или Гг) дальнейшее приведение? Если нет, то говорят, что это — неприводимое представление. Допустим, оно неприводимо. Тогда спрашивается: исчерпываются ли все неприводимые представления группы C3v рассмотренными нами тремя неэквивалентными представлениями Гъ Г|, Г2 (Гг) или существуют какие-то другие неприводимые представления?
Теория представлений групп дает на поставленные вопросы четкие ответы: 1) представление Г2 (Гг) неприводимо; 2) все неэквивалентные неприводимые представления группы C3v исчерпываются найденными нами тремя представлениями Г1? Г!, Г2.
(б) Характеры
Характеры матриц представления —¦ основное математическое средство решения вопросов о том, является ли данная матрица представления группы неприводимой или нет и какие вообще существуют неприводимые представления.
Следом квадратной матрицы
М]\ М\2 . . . Mln M2i А122 . . • М-2П
м
мп1_ м„
Mr
называют сумму ее диагональных матричных элементов, след обозначают символом Тг (от английского Trace) или Sp (от немецкого Spur):
ТгМ= ? Мн. 1=1
Таблица 3.9. Неприводимые представления группы С3о
Следы двух матриц, связанных преобразованием (3.3.15), совпадают:
Tr М' = Tr (Т-1МТ) = Tr (МТТ-1) = Tr М; (3.3.21)
следовательно, следы матриц эквивалентных представлений одинаковы. Таким образом, след является характеристикой матриц представления, инвариантной относительно преобразований вида
(3.3.15) с произвольным Т. В теории представлений групп он получил название характера.
6 табл. 3.9 подытожены результата™, полученные выше
в разд. (б); найденные в (б) три неэквивалентных неприводимых представления Гь ГI, Гг обозначены здесь символами Гъ Г2, Г3.
Обозначения Аи Л2, Е применяют обычно в теории молекул Чтобы отличить характеры неприводимых представлений от
характеров произвольных приводимых представлений, первые называют также простыми характерами. В табл. 3.9 в качестве неприводимого выбрано представление Гг 1п. (б) ], но с таким же успехом можно было бы воспользоваться эквивалентным ему представлением Г2; разумеется, их характеры совпадают.
Классы и характеры. В § 3.2 указано, что операции симметрии группы C3V разбиваются на три класса \Е], а2, ст3|,
{Сз, Сз}. Как видно из табл. 3.10, характеры представлений элементов, принадлежащих одному и тому же классу, одинаковы.
Обозначая характеры символами Таблица 3.10. Простые характеры ~
группы C3V xr (R), имеем для представле-
ния Г3
ХГз К) = ХГз Ы = ХГз (°з) = о, хГз (Сз+)=хГз (СГ)--------1-
В теории групп доказывается, что отмеченным свойством характеры обладают также и в общем слу-
Е о2 Оз Сз Сз
Г* Л! 1 1 1 1 1 1
I 2> ^2 1 ---1 - -1 --- 1 1 1
Гз, Е 2 0 0 0 --- 1 ---1
чае; этим свойством часто пользуются для изучения классов конкретных групп.
Критерий неприводимости представления. В теории групп доказывается, что для неприводимости матриц представления необходимо и достаточно выполнение условия
?Х(?)Х <?)* = *. (3-3.22)
R
где h — порядок группы (число элементов в ней). С помощью этого условия легко проверить неприводимость представлений 1\, Г2, Г3 группы C3V. Например, для представления Г3
22 + О2 + О2 + О2 + (—I)2 + (—I)2 = 6.
Число неэквивалентных неприводимых представлений. Для проверки того, что представлениями 1\, Г2, Г3 исчерпываются все неэквивалентные неприводимые представления группы C3v, достаточно, согласно теории представлений групп, убедиться, что сумма квадратов размерностей матриц этих представлений равна порядку группы:
