Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
где *IiylV — 3-мерный метрический тензор в хронометрической калибровке. В данном варианте диадного формализма выделяется класс преобразований координат
JCr0 = JCr0 (х°у X1f X2f X3); xfl = Xrl (х1); (7.38)
X1 = X1 (X1f X2f X3)f (7.39)
а используемые величины инвариантны при преобразованиях. (7.38) и ковариантны относительно преобразований (7.39) (формализм хроноорометрических инвариантов).
* В первых работах [103, 107] эта калибровка называлась кинехроно-метрической.
** Ранее [103, 108] эту калибровку называли хронокинеметрической.
135:В этом формализме физико-геометрические тензоры CZilav и q^
тождественно равны нулю. Диадные операторы дт и Уф обладают свойствами монадных операторов в хронометрической калиб-
ровке, а дь определяется аналогично оператору монадного временного дифференцирования в кинеметрической калибровке.
7.3. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИАДНОГО ФОРМАЛИЗМА
Если монадный метод нужен для описания систем отсчета в ОТО, то диадный метод наиболее естествен для описания монохроматического электромагнитного или иного излучения относительно выделенной системы отсчета. Действительно, электромагнитное и любое другое изотропное излучение характеризуются волновым вектором удовлетворяющим условию изотропности
ktJP = 0. (7.40)
Временно-подобная часть этого вектора определяется 4-скоростью и^ = г** используемой системы отсчета. Пространственно-подобную часть —Kkv используем для определения второго единичного вектора диады ортогонального Tm" так, что
= со (je), (7.41)
где о)(х)—частота излучения (скалярная функция). Соотношение (7.40) тогда выполняется автоматически.
Характер конгруэнции изотропных линий можно описать с помощью трех оптических инвариантов [109] [ср. с (3.16)]:
є - (1/2) /? Q2 = (1/4) (k?,v - Ajv J
о» = (1/4) (kw+Kv) -є2,
которые позволяют сопоставить контуры непрозрачного предмета и его тень на экране, расположенном на расстоянии dr за предметом. Величина гйг характеризует растяжение или сжатие тени (рис. 14, a); Qdr — поворот (рис. 14, б), а \a\dr — сдвиг (сплюснутость) тени (рис. 14, в). Эти инварианты легко записать через диадные физико-геометрические тензоры. Однако учтем, что изотропные линии, к которым касателен волновой вектор h? электромагнитного или иного излучения, являются геодезическими, т. е. kц удовлетворяет условию [здесь и в дальнейшем верхний знак соответствует выбору ^ = (^+ со, а нижний знак — выбору ^ = (Tia-Z14)G)]:
= о (tv ± Zv) [©.V (т* ± Р) + со (т* ± = 0. (7.43)
Проектируя это соотношение на направления т, Z, у, получаем: 136
(7.42)D +> + (1 /со2) о,V kv = 0; (7.44)
Fv+fv + 2(Qv + %) = 0. (7.45)
Используя (7.44), (7.45), оптические скаляры можно записать в виде
є = -(0)/2 )(D±d); (7.46)
Q2 = (со2/2) (Aiiv ± a?V) (Ativ ± awv); (7.47)
о2 = (со2/2) (Dtiv ± d|lv) (Z)|lv ± сГ) - (о)2/4) (D ± df. (7.48)
Эти формулы позволяют наделить физическим смыслом диадные физико-геометрические тензоры A1LIV, d(Liv И df которые не определяются из монадных.
Покажем, что ранее описанный метод хроногеометрии (см. § 2.3), соответствующий радиолокационному способу задания координат T = т и R = I одиночным наблюдателем, естественно связан с диадным формализмом [110]. Пусть
/i (R, Ti уа) = f (X? СT + R); у-) = 0; (7.49)
/2 (R1 T9 if) = f (я* (Т - Ry уа) = 0 (7.50)
— уравнения двух изотропных конусов с вершинами соответственно в точках xa(T + R) и ха(Т—R) на мировой линии одиночного наблюдателя; уа — координата наблюдаемой точки, лежащей на Пересечении ЭТИХ КОНуСОВ. НорМаЛИ К КОІїусаМ Ua=Of1Idya; f2a = = Of2Idya также являются изотропными. Вводя обозначения fm = = OfJdR; I2R = Of2I1ORt находим два вектора диады:
f\Rf2a~— f la fzR . , f2af\R + fi а і 2R Jr7 г і \
tCC= ,— - ; Ia=--7- > (7.51)
V 2flR f2R f l? і 2 у 2IlR f2R
137:Соответственно ортогональные поверхности T = COnst и R = const. Применяя формулы монадного и диадного формализмов, легко показать, что Аа$ = 0; aa? = 0. Таким образом, для описания данной ситуации целесообразно использовать диадный формализм в кинеорометрической калибровке.
Безотносительно к радиолокационному способу задания двух координат при выделении из конгруэнции системы отсчета одной из мировых линий (выделенного или одиночного наблюдателя) второй вектор диады может означать пространственно-подобное направление на положение (или-от него) выделенной мировой линии (радиальное направление).
Пока, не вдаваясь в подробности, кратко укажем другие возможные приложения диадного формализма.
Одним из них является использование его при описании областей пространства-времени, в которых имеется физически выделенное одно пространственно-подобное направление, например существует вектор напряженности электрического или магнитного поля. В этом случае направление напряженности можно связать с вектором Zm", который вместе с вектором 4-скорости системы отсчета образует диаду.
Как будет показано в гл. 10, монадный формализм оказался эффективным методом при построении гамильтоновой формулировки ОТО. Последняя важна для осуществления программы выделения двух пар динамических гравитационных переменных, подлежащих квантованию в квантовой теории гравитации. Работы Дирака и других авторов (фактически на основе монадного метода) позволили «исключить» четыре переменные т^ из 10 составляющих метрического тензора ^v. Использование диадного формализма целесообразно для дальнейшего исключения «лишних» переменных. В гл. 10 на основе диадного формализма в кинеорометрической калибровке будет обсуждена задача «исключения» еще трех переменных Iі.