Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
со -/(X0 + X1Va(X0)i (6.39)
где f(x° + x1) —функция, определяющая форму светового сигнала. Переходя от энергии o) = /iv к частотам v и сопоставляя частоты светового сигнала в момент его испускания (х° = х°{1)) и в момент наблюдения (х° = х°2)), из (6.39) получаем:
v2ci (х°2)) = V1A (х°1}) или v2zv1 = a (x°{l))/a (х°{2)) . (6.40)
Поскольку изменение параметра х° за время распространения сигнала от звезды до наблюдателя мало по сравнению с его значением, т. е. Ax0 = х°{2) — *(!) C^J2)' представим а в виде
а(хО)) ~ а(х(2)) — аАх°. Подставляем это выражение в (6.40):
(v2 V1VV1 = A v/v = (d/a) Ax0.
Величине Ax0 соответствует разность координат х1=г или расстояние I ^ У hnr2 = ar. В результате получаем окончательную формулу для относительной разности частот:
Av/v = — (а/а2) I = -Hl. (6.41)
При расширении Вселенной (d>0) изменение частоты отрицательное (красное смещение), а при сжатии—положительное (фиолетовое смещение).
Эффект космологического красного смещения обнаружил экспериментально Хаббл в конце 20-х годов. Коэффициент пропорциональности H в (6.41) назван его именем. По современным данным постоянная Хаббла равна Н = а/а2^3-Ю-18 с~!. Таким образом, данные наблюдений выделяют из всех возможных космологических моделей лишь те, которые хотя бы на отдельных этапах эволюции соответствуют расширению.
2. Каково пространство в сопутствующей системе отсчета: от-
124: крытое или замкнутое? Чтобы ответить на этот вопрос, вернемся к уравнениям Эйнштейна для однородных изотропных моделей (6.8), (6.9) при Л = 0, р = 0. Умножим (6.9) на hik и сложим с (6.8). В результате получим:
В = 2 (хрс2/3— #2). (6.42)«
Отсюда находим, что пространство замкнуто (В>0), если
р > 3 Н2/кс2 = ркр«2.1 (Г29, и пространство открыто (?<0), если
р < ЗН2/кс2 ^2-10~25
(в граммах на кубический сантиметр).
В настоящий момент плотность р наблюдаемой части Вселенной оценивается значением [98] р^5-10~31 г/см3. Экстраполируя эти данные на всю Вселенную, приходим к выводу о соответствии данным наблюдений открытой модели Фридмана. Таким образом, пространственные сечения в сопутствующей материи системе отсчета, скорее всего, описываются геометрией Лобачевского. Однако* может оказаться, что при оценке р учитывается не вся материя. По мере открытия новых объектов и новых видов материи оценка средней плотности постепенно будет приближаться к критической: плотности рьр. Если еще учесть возможность А>0, то оказывается, что на данном этапе трудно с уверенностью произвести окончательный выбор реализуемой в природе модели Вселенной.
3. Каков «возраст» Вселенной? Если бы Вселенная всегда: расширялась в наблюдаемом темпе (при Л = 0), то для расширения до современного состояния в сопутствующей системе отсчета понадобилось бы Ti- 1 ///~3- IO17 с ^ IO10 лет. На самом деле, как" это видно из графиков эволюции моделей Вселенной (см. рис. 13), в ранние этапы расширение должно было быть более быстрым' (в «начальный» момент — взрыв). Поэтому следует брать значение T2^ (2/3)Th Тогда возраст Вселенной Г2~7-109 лет. Это* небольшой возраст. Он одного порядка с оцениваемым геологами возрастом земной коры и даже в два-три раза меньше приводимого-астрономами возраста старых звезд. Выход из этого противоречия" может состоять в рассмотрении более сложных моделей: анизотропных, неоднородных или одновременно и анизотропных и неоднородных.
6.6. ОДНОРОДНЫЕ АНИЗОТРОПНЫЕ МОДЕЛИ ВСЕЛЕННОЙ
Рассмотрим кратко некоторые модели Вселенной, обладающие более-общими — однородными пространственными сечениями. Для этого прежде всего изложим классификацию 3-мерных однородных пространств * (возможных одно-
* Эта классификация дана Бианки [99]. Аналогичная классификация однородных 4-мерных пространств произведена Г. И. Круяковичем: [100], Она изложена в [41, с. 72].
125: [родных пространственных сечений в нормальных системах отсчета). В § 1.8 уже было сформулировано условие однородности многообразий произвольной размерности. Здесь понадобятся формулы (1.61) — (1.63) для 3-мерных пространств (все греческие индексы в них должны быть заменены латинскими). Сопоставим '¦структурным константам величину с двумя индексами: C^ = е(8Г{)№'>, „где Є(8гг) — символ Леви-Чивиты. Тогда (1.63) можно записать в виде
*«/*) CmCm=O- (6-43)
Представим Огі\ как сумму симметричной и антисимметричной частей
С«/> = п(И) + а(ч) = п(ч) + Е(ф) a{k) 9 (6.44)
ігде пW) = пиО. a(U) = _аиьт
Поскольку линейная комбинация векторов Киллинга также является вектором Киллинга, в пространстве этих векторов можно определить линейные преобразования. При этом все величины с индексами в скобках будут изменяться по тензорному закону. С помощью таких преобразований симметричный тензор tiu приводится к диагональному виду. Пусть пи п2, п3 — его главные значения. Пользуясь произволом в выборе постоянных множителей при операторах (1.60), -Можно обратить отличные от нуля главные значения Ui в ±1. Используя (6.44), < соотношения (6.43) запишем в виде
a{i) n{is) = 0. '(6.45)
