Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
.Это означает, что отличными от нуля (в главных осях) могут быть лишь такие компоненты вектора a(i), которые соответствуют нулевым главным значениям Hi. Если имеются два или три нулевых главных значения піу то подходящие преобразования обращают в нуль соответственно одну или две из оставшихся компонент a(i). Таким образом, не теряя общности, можно считать, что вектор 0(г), если он отличен от нуля, имеет лишь одну ненулевую компоненту. 'Положим, что такой компонентой является o(i) = а. С учетом изложенного коммутаторы (1.61) выразим следующим образом:
[Х(1) Х(2)] = — аХ(2) + П3Х(3)> )
[*<з, Х(1)1 =^2?)+ (6.46)
[Х(2) Х(3)1 = Vc(I). J
Перебирая все указанные для Uj и а значения, получаем однородные пространства девяти типов Бианки. Выпишем соответствующие этим типам значения '•Пі и а [9, с. 487]:
Тип I И VIl VI IX VIIl V IV VII III(=l)|VI(a^l)
а 0 0 0 0 0 0 1 1 а а
«і 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0
«2 0 0 1 —1 1 1 0 0 1 1
"з 0 0 ¦0 0 А —1 0 1 1 —1
ГІ26 Заметим, что спроектированные иа направления базисных векторов компоненты 3-мерного тензора Риччи алгебраически выражаются через'структурные^ константы группы*. Используя это и вид тензора Эйнштейна (3.36)-(3.38) в синхронной системе отсчета, легко записать уравнения Эйнштейна для метрик с пространственными сечениями всех типов Бианки.
Выпишем несколько пространственно-временных метрик, имеющих пространственные сечения различных типов Бианки.
Тип I — абелева группа Ли — соответствует евклидовому пространственному сечению. Кроме метрики Минковского к этому случаю относится плоская анизотропная модель мира Казнера [9, с. 491] (вакуумное решение):
ds2 = dx2 — xf'dx2 — xff'dx 22 — xf*dx\, (6.47>-
где Pi1 Р2, Рз — константы, удовлетворяющие условиям:
?i + ?2 + ?3 = I; ?? + ?| + ?l = I- (6.48)-1
Если их расположить в порядке возрастания Рі<Р2<Рз, то они лежат в интервалах:
- 1/3 < P1 < 0; 0 < р2 < 2/3; 2/3 < P3 < 1. (6.48а).
С увеличением х° в хронометрической (кинеметрической) системе отсчета в пространственных сечениях линейные расстояния вдоль осей x2 и X3 увеличиваются,, а вдоль оси x1 уменьшаются.
Тип IX. К этому типу относится модель с замкнутыми пространственными сечениями, в некотором смысле обобщающая модель Казнера [101]:
ds* = dx2 - ехр (2а) [ехр (2?u) dl2x) + ехр <2?H) dl22) + ехр (2рзз) dl23)] , (6.49)»
где а, Pu, Р22, Рзз — функции координаты х°, удовлетворяющие условию
?ii + p22 + ?33 = 0r (6.50)-
a dl ^ = l^^dx11—три ортогональных смещения вдоль векторов с компонентами:.
/ = <0; sin л:3; —COSX3SmA1; 0); /(2)jLl = {0; cosx3; Sinx3Sinx1; 0};
W = {°;0; cos^ 1J
(6.51),
в системе координат, где Ocx1Cri; 0<х2<2л; 0<х3<4л. Ввиду условия (6.50) независимы лишь две функции Pil-. Можно перейти к новым независимым величинам р+ и р_, так что
Pn = ?+ + /3~?-; ?22 = ?+~V3"?-^ Рзв-=—2?+. (6.50а),
Величина P= VA +Р_ характеризует суммарную анизотропию мира,.
* Это легко понять на языке тетрадного (см. § 7.7) или в данном случае триадного формализма. Структурные константы фактически являются объектами:: неголономности, из которых алгебраически строятся коэффициенты вращения Риччи, образующие тензор кривизны подобно символам Кристоффеля. Производные от них из-за постоянства Cfy) равны нулю. Остаются лишь квадратичные комбинации коэффициентов вращения Риччи или структурных констант.
12 T a=arccos^?+ / у ?^+?L) определяет отклонение мира от аксиальной сим-.метрии.
При ?iі = Ргг= Рзз, т. е. ?+ = ?_ = 0, пространственные сечения имеют постоянную положительную кривизну. Таким образом, закрытая модель Фридмана является частным случаем моделей мира с однородными пространственными сечениями типа IX Бианки. Эволюция модели мира с метрикой (6.49) соответствует смене казнеровских эпох попеременно вдоль трех осей. При х°->-0 число ,осцилляций стремится к бесконечности [102].
Описанная модель однородной анизотропной Вселенной использована .Мизнером [179] для построения квантовой космологической модели. Этот вопрос кратко изложен в § 10.8. Там же рассмотрена эта метрика с позиции теории ¦суперпространств. Подробное обсуждение этой и других анизотропных космологических моделей (как классических, так и квантовых аспектов) можно найти в книге Райана (Ryan М. Hamiltonian Cosmology: Lect. Not. Phys. Berlin — 'Heidelberg — New York, Springer—Verlag, 1972).
Пространства постоянной отрицательной кривизны являются частным случаем пространств типа V Бианки.
Общие виды метрик 3-мерных пространств всех девяти типов Бианки можно :найти в монографии [41, с. 156—157]. ЧАСТЬ III
СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Глава 7
ПОЛНЫЕ И НЕПОЛНЫЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
При детальном рассмотрении некоторых проблем и конкретных задач теории гравитации часто приходится отказываться от полной симметрии даже среди пространственных координат (направлений). В таких случаях может оказаться целесообразным использование методов 1-1-1+2- или 2 + 2-расщеплений пространственно-временного многообразия по образцу уже рассмотренных в гл. 3 1 -l-3-расщеплений, что осуществляется соответственно диадным и диарным формализмами. Кроме практической важности эти формализмы позволяют более глубоко осмыслить математическую структуру монадного метода. Наконец, для полного описания наблюдателей в ОТО необходим формализм 1 + 1 -I- 1 + !-расщепления пространственно-временного многообразия — тетрадный формализм. Все упомянутые формализмы систематически изложены в этой главе.
