Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Алгебра. Как уже отмечалось, метрический тензор представляется в виде
^V = S11 («) fiv (a) = S11 (0) gv (0) - ^ (1) gv (1) - ^ (2) g-v (2) -
— (3)gv(3), (7.90)
где четыре вектора тетрады ортонормированы:
(• + І при а = ?= 0; g» (0) g» (?) = є (a?) = -1 при a = ? = 1, 2, 3; (7.91)-
[ 0 при а Ф ?.
Напомним, что монадные и диадные составляющие метрического тензора следующим образом связаны с компонентами тетрады:
з
Sll (0) = V. g? (1) = Zjl; V = J] g? (І) gv (0;
Очевидно, что все четыре вектора тетрады в этом формализме, равноправны. Теперь нецелесообразно вводить специальные обозначения операторов проектирования на отдельные направлення, достаточно заменять универсальные индексы номером соответствующего проектирующего вектора в скобках, например:
B%(a) = ?(a); ВЦ;'/M11 (a) . . .g* (a) . . .= ? (a . . .a . . .).
В наиболее распространенном варианте тетрадного формализма
145: используются смешанные величины, т. е. тензоры, лишь частично спроектированные, например Bv\\\(а. . .). Таким образом, в рассматриваемом формализме величины имеют индексы двух типов: универсальные (ковариантные и контравариантные) и локальные (в скобках). В этом состоит существенное отличие излагаемого тетрадного формализма от уже обсуждавшихся монадного, диадного и диарного, где используются лишь полностью спроектированные (на т и Ii или на т, /, у и т. д.) тензоры. Можно сказать, что этот формализм имеет промежуточный (или смешанный) характер. В последовательном тетрадном формализме должны были присутствовать лишь проекции тензорных величин по всем индексам, т. е. скаляры. Примером такого последовательного тетрадного формализма является кратко изложенный в § 7.10 формализм изотропных тетрад Ньюмена — Пенроуза. Отметим, что сами компоненты тетрады можно понимать как метрический тензор с универсальным и локальным индексами:
fin («) = glxvgv И; (*) = («)•
В каждой точке пространства-времени с помощью соответствующего поворота можно перейти к новой тетраде:
gu(aY = co(a?)g^(?), (793)
где со (a?) —коэффициенты линейных преобразований компонент тетрады. Очевидно, что при таком преобразовании изменятся значения проекций тензоров на компоненты тетрад, т. е. величины с .локальными индексами преобразуются по закону
? . . .у = CO (ay) 00 (?X) . . j3?:::(y*, . . .)• (7.94)
Таким образом, в тетрадном формализме определены две группы преобразований [119]: группа универсальных допустимых преобразований координат ОТО х ^ = х ^ (х°, X1j X2j х3) (относительно этих преобразований скалярами являются величины только с локальными индексами); группа локальных ортогональных преобразований—поворотов тетрады (7.93) (относительно этих преобразований инвариантны тензоры только с универсальными индексами) .
Тетрадные ф и з и к о - г е о м е т р и ч е с к и е тензоры. Тетрады в двух близких точках могут быть ориентированы относительно друг друга произвольно. Ограничимся случаями, когда з близких точках ориентации векторов близки, т. е. (ос) являются дифференцируемыми функциями. Тогда из первых производных g? (а) можно образовать четыре тензора
Cvtl (а) --= - Cliy (а) = (1/2) (dg[l (а)/дх- - dgv (а)/дх% (7,95)
обычно называемых объектами неголономности. Всевозможным образом проектируя их на векторы тетрады, можно образовать 24
146: величины (скаляра относительно группы универсальных допустимых координатных преобразований):
С (Яа, а) = Cvil (а) g- (К) g» (а), (7.96).
соответствующие ранее вводимым физико-геометрическим тензорам.
Термин «объект неголономности» связан со следующим обстоятельством. Дифференциалам координат dxv можно сопоставить смещения dx(а) в касательном в данной точке плоском пространстве dx(a) = g^(a)dx^. В случае отличных от нуля объектов неголономности компоненты тетрады не являются компонентами градиента (glx>(a)=^dX(a)ldx[X)1 а следовательно, величины dx (а) не являются полными дифференциалами в отличие от выражение dx ? = (дх ?/dxv) dxv, которое можно проинтегрировать. В последнем случае преобразование x? = x?(xv) называют голономным.
Некоторые компоненты объектов неголономности ранее уже, использовались при получении монадных и диадных физико-геометрических тензоров: Cvn(O) ^nv); Cvm, (1) -> {/^, AIjliv).
Дифференциальный аппарат. В связи с «промежуточным» характером рассматриваемого формализма в нем можно ввести следующие типы операторов дифференцирования.
а. Производные Ли от тензорных величин вдоль векторов тетрады
g0(cc)
—Bv:::(? . . .)dg*(a)/d*>— . .
+ BS::: (? . . .)dg°(a)/dxv + . . . (7.97>
В последовательном тетрадном формализме эти операторы существенно упрощаются: д(а) = g° (а)д/дх°.
б. Ковариантные производные от тензоров с локальными индексами. Сначала определим операцию параллельного переноса вектора В (а). Как обычно, полагая, что в близких точках разность компонент линейно выражается через компоненты переносимой величины и разность координат, имеем:
В (a I X + dx) = [б (a?) + Aa (a?) dx°] В (? | x), (7.98>
где Да (a?) — коэффициенты
