Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотренные здесь калибровки естественно назвать однородными. Заметим, что до сих пор всегда на первом этапе выделяли временную координату х°. Однако, как это уже отмечалось,, можно построить откалиброванные формализмы с выделением на первом этапе пространственной координаты. Для таких калибровок (формализмов) можно использовать унифицированные обозначения. Буква T перед скобкой указывает упорядочение калибровок; в скобках обозначено B0 — хронометрическая калибровка^ B0—кинеметрическая калибровка, П2' — хориометрическая калибровка, соответствующая координате Xі, Пг- — орометрическая калибровка, соответствующая координате Xі. Тогда, например, полная хронохориометрическая калибровка тетрады (7.106) будет обозначаться T(В0, П1, П2, П3), а полная кинеорометрическая калибровка тетрады (7.108) — Т(В0, Пь П2, П3).
Если не различать упорядоченностей среди пространственных направлений, то легко показать, что имеются четыре различные' однородные тетрадные калибровки, так как из восьми тождественны следующие калибровки: Т(П!, П2, П3, В°)=Г(В0, П3, П2, Пі); Т(П!, Щ B0, П3) =Т(Пз, Во, П2, Пі); Т(П1, B0, П2, П3)=Т(П3, П2> B0, II1); TfB0, П1, П2, П3) = Т(П3, П2, Пь B0).
150: Аналогично можно рассмотреть смешанные калибровки тетрад, т. е. такие, когда одновременно присутствуют и хроно- (хорио-) и кине- (оро-) метрические калибровки [103]. Различных тетрадных; калибровок значительно меньше, чем этого можно было ожидать* при формальном построении комбинаций из введенных символов. Это можно усмотреть уже на уровне диадных калибровок, где лмеем три пары тождественных формализмов: Т(В°, Пі) =Т(0^ B0); Т(ГР, B0) =T(Во, П1); Т(ГР, П2)=Т(П2, П1).
Заметим, что рассмотренные в § 3.9 калибровки Ламе компонент 3-мерного метрического тензора hik относятся к рассматриваемым здесь полным хорио- и орометрическим калибровкам. Для диагональных метрик (как в гл. 3) эти калибровки совпадают. Кроме рассмотренных здесь алгебраических калибровок, в ряде работ применялись другие алгебраические калибровки [117, 121] и калибровки в виде дифференциальных соотношений. Например, в [119, 122] широко использована калибровка
V'og°(a)=zdg°(a)/dx° + T^ (а) = 0, (7Л 10)
напоминающая условия Лоренца в электродинамике. Условия (7.110) можно записать в виде Сам.ст = Cm (a) g° (а) = 0. В этой калибровке формально упрощаются некоторые соотношения в тетрадной формулировке ОТО.
7.9. УРАВНЕНИЯ ДИРАКА B ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
Важным приложением тетрадного формализма является его использование для описания спинорных частиц в искривленном пространстве-времени. Известно, что понятие спинора имеет смысл только в плоском пространстве-времени, где определена группа преобразований Лоренца. Однако, как уже отмечалось, в тетрадной формулировке ОТО в каждой точке пространства-времени определено касательное плоское пространство-время с группой вращений, т. е. локально понятие спинора имеет смысл. При переходе от одной точки к другой меняется ориентация векторов тетрады, поэтому следует ожидать изменения компонент спиноров.
Рассмотрим соотношение компонент спиноров в близких точках, следуя работам [14, с. 415; 123]. Из общих соображений следует ожидать, что
W(x + dx) = W(x) + TKW(x)dx^)
W(x + dx) = W(x) + W(x)TKdx}% J 1
где I\ и l\ — квадратные 4-рядные матрицы. Установим связь между ними. Используя соотношения: W= ^P+Y(O); у(0;у(0)=Л находим:
W (х) Tk = (TkW (х))+ у (0) = W+ (X) Tty (0) = W (X) у (0) Tty (0),
151: т. е.
Tx = V(O)I^Y(O). (7.112>
Чтобы найти явный вид матриц Гь воспользуемся тем, что из величин 1F и 1F можно построить вектор
В (a) = Wy (a) Wf (7.113>
а для произвольного вектора с локальным индексом известен закон параллельного переноса (7.98). Подставляя (7.113) в (7.98) и учитывая (7.111), получаем в первом приближении
(?V («) xni+a, = (^Y (a) 1If), + Аа (a?) dx? (Wy (?) ?)х = = Y (x + dx) Y (a) ? (x + dx) = W(x)y (a) ? (x) + + ? (x) Y (а) ГД (X) dx» + ? (x) Y (0) Tty (0) у (а) ? (x) dx'\ Отсюда находим уравнение для матриц Г^:
Aa (a?) Y (P) = Y (a) Ta+ у (0) Га +'т (0) Г+ Y (0) Y (а). (7.114>
Естественно решать это уравнение в виде выражений, составленных из Да (a?) и матриц Непосредственной проверкой легко убедиться, что простейшее решение имеет вид:
T0 = IA0 + (1/4) Aa Giv) у (,і) у (v); Tt = -IAa + (1/4) Aa (И у+ (v) у+ Gx),
где A0 — произвольный вектор.
Из (7.111) и (7.115) получаем выражение для ковариантной производной от спинора
V^ = aT/a^-(l/4)A|1(a?)Y(a) у (P) T - і
V Д = д?/дх» -(1/4) Am. (a?) W у (?) у (а) + і A11W. J
Вводя обозначение д/дх (X) == g* (X) д/дх^ и вспоминая, что переход к искривленному пространству-времени осуществляется заменой частных производных ковариантными, находим уравнения Дирака в искривленном пространстве-времени:
[_ і Y (X) д/дх (к) — А (к) у (X) + + (//4) A (?ux?) Y (X) у (а) у (?) + mc/h] W = O. (7.117)
Любопытно, что в выражениях (7.115) — (7.117) можно ввести в ковариантную производную вектор All, который входит точно так же, как векторный электромагнитный потенциал при учете взаимодействия спинорного и электромагнитного полей.
