Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Запись основных соотношений ОТО. Зная выражение символов Кристоффеля через диарные величины
= + Щ» - Q^ - S- ^t + 1? + W^ + Л^р + Л^-, (7.85)
не трудно записать соотношения ОТО и теории поля через введенные B0Il1-H. и П2П3-и. величины и операторы.
Совокупность (B0Sl1)- и (П2П3)-калибровок диарного метода. Эта совокупность представляет собой формализм, в некотором смысле обратный изложен-.ному. Их соотношение такое же, как соотношение хронометрической и кинеметрической калибровок монадного формализма.
Даьный вариант диарного формализма определяется условием, что кова-рпантный метрический тензор ^v имеет вид:
Aoo V ° 0\
^ = (?0?1? S • Т-е- bOb^ v.-0' (7'85)
\ О ООО J
В результате выделяются преобразования координат:
х'0= х,0(*°> ^1); Xfl= xfl{x?, Xі); (7.87)
Xr2= х'2 (X09X19 X2, х3); х'3 (х°, X1y X2y х3). (7.88)
Все остальные элементы этого формализма строятся аналогично изложенному выше (см. [115]).
7.6. ВОЗМОЖНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДИАРНОГО
ФОРМАЛИЗМА
X р о н о г е о м е т р и я и д и а р її ы й формализм. Из определения цнарного формализма следует, что он может оказаться полезным в тех задачах, где две координаты необходимо рассматривать симметрично друг другу. Именно такая ситуация имеет место в хроногсометрпи (введение координат T = т и R=-I методом посылки и приема световых сигналов). Как указывалось в § 2.3, там координаты времени и расстояния вводятся симметричным образом, причем имеющийся в хропогеометрип произвол в задании координат Tf Rj х2, х3 обус-
143: ловлен тремя факторами [116]: ходом часов одиночного наблюдателя (параметризацией мировой линии); выбором закона T(sif S2) и Risilj s2), где S1 и S2 — моменты собственного времени наблюдателя, соответствующие испусканию и приему сигнала [разумеется, чисто формально можно определить TuR иначе, чем это сделано в формулах (2.14) и (2.15)]; выбором координат на поверхностях r=const, /? = const. Этот произвол соответствует преобразованиям координат: Tf = Tf(T1R); R'=R'{T,R); х'2 =х'2 (7\ х2, х3); х'3= = х/3(Т, R1 X21 л:3). Видно, что эти преобразования совпадают с диарными преобразованиями (7.87) и (7.88) в В0Пі-калибровке.
Диарный формализм как метод рассмотрения совокупности систем отсчета. Выясним возможный физический смысл ВоПі-калибровки диарного формализма с позиций диадного метода в кинеоро-
метрической калибровке. Пусть нормальной системе отсчета с 4-скоростыо ^
сопоставлена кинеметрическая система координат ( ^ откалибрована кияе-метрическим способом) и пусть в данной системе отсчета выделено кпнеоромет-
рическим образом пространственно-подобное направление /м- . Выберем вто-
(2)
рую нормальную систему отсчета (с тм<) так, чтобы ее 3-скорость V^ относи-
(1)
тельной первой системы отсчета была направлена вдоль вектора / ^ , т. е.
(О (2)
v? = vi11 , где V — модуль 3-скорости (рис. 15). З-Скорость системы т отно-СО
сительно т находится согласно соотношению (3.116). Переход от одной кинеметрической системы отсчета к другой, кинеметрически откалиброзанной в новой системе координат, можно описать преобразованием координат (3.131). Подстяв-
(1)
ляя в (3.131) выражение v^ = vfl* и учитывая, что в кинеорометрической
(1) , _
калибровке Iu =—gfjv^h11, находим:
дх'*
dxk
дх'°
^g1
оо.
Л
Рис. 15. Движение одной системы OT-({2)и\
счета Ik т mV относительно другой /О) \ /(1) \
( TmJ вдоль вектора \ I jxJ
дх° g01v+ V gWfi11 т. е. дх,0/дх1фО, дх'о/дх% = 0 или х'0= = х,0(х°, Xі).
Таким образом, с помощью В0Пі-калиб-ровки диарного формализма можно единообразно рассматривать у-спРоектиР°" ванные величины, определенные в множестве кинеметрических систем отсчета, движущихся относительно друг друга вдоль выделенного кинеорометрической калибровкой пространственно-подобного направления.
Аналогичный физический смысл может иметь диарный формализм в B0ITi-калибровке с позиций диадного метода в хронохориометрической калибровке. В этом случае следует рассмотреть две системы отсчета с соответствую-
(D11 (2)
щими координатными сетками, где их векторы Xм" и Tm" откалиброваны хронометрическим способом, а направление движения второй системы отсчета ( D
относительно первой Zjx откалибровано хроиохориометрическим способом.
Используя формулы предыдущих параграфов этой главы, легко сопоставить диарные и диадные физико-геометрические тензоры:
144: ?afi — ~~ x^
К» =^ O^ ^? == ~ т ФаЭД*»
Qp+Qp = TaIkQaK^
da$ = — ^ ?a? = 1
h ^ 1 Qab?''
(7.89)
Отсюда следует возможная физическая интерпретация диарных физико-геометрических тензоров через диадные и монадные.
7.7. ТЕТРАДНЫЙ ФОРМАЛИЗМ
Легко видеть, что в 4-мерном многообразии задание в каждой точке трех ортогональных векторов равносильно определению всех четырех ортов. В таких случаях целесообразно использовать тетрадный формализм (метод) [117—122], который уже полностью характеризует наблюдателей в каждой точке, определяет весь ор-тонормированный набор пространственно-временных направлений. Основы математического аппарата тетрадного формализма, так же как математический аппарат монадного, диадного и диарного формализмов, изложим в виде четырех составных частей.
