Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Как уже отмечалось, монадный формализм своим истоком имеет метод выделения пятой координаты в 5-мерной римановой геометрии. В гл. 11 5-мерная теория рассмотрена на основе усовершенствования монадного метода, осуществляющего такое 1+4-расщепление. Однако в получившемся 4-мерном пространственно-временном сечении для описания системы отсчета и наблюдаемых необходимо произвести еще одно расщепление (1+3). Таким образом, в совокупности опять приходим к двойному расщеплению (1 + І+3), т. е. к днадному формализму.
Наконец, могут возникнуть задачи, в которых необходимо выделить два пространственно-подобных направления (а не одно временно-подобное и одно пространственно-подобное, как в предыдущих задачах): когда требуется задать два угла (сферические координаты) или когда требуется описание ориентации относительно двух выделенных объектов.
138: 7.4. ОБЩЕКОВАРИАНТНЫЙ ДИАРНЫЙ ФОРМАЛИЗМ *
Диарный формализм основан на расщеплении 4-мерного пространственно-временного многообразия в каждой точке на два 2-мерных сечения (2 + 2-рас-щепление) без выделения отдельных направлений внутри них. Математический аппарат диарного формализма, так же как и монадного или диарного, целесообразно представить в виде четырех составных частей.
Алгебра. Метрический тензор ^jllv представляется в виде
^v=V-V= ^ = ^v-Ytiv. (7.52)
где — метрический тензор 2-мерного сечения, содержащего временно-подобные направления, a ^ — метрический тензор 2-мерного пространственно-подобного сечения. Метрические тензоры ^v и Yjliv ортогональны:
= 0. (7.53)
Кроме того, имеют место соотношения:
av и «ал; и u<zv. л,v_л, ^ov л, .,osv /7 с/ч
b^=bIiag =ЬцаЬ >Уц=Уца8 = ~ ТцсЛ • (7'54>
Введем операторы проектирования на 2-мерные 6-сечения:
b?v. . .о = % 0V ' • • о *
так что для произвольного тензора имеем:
Получившиеся тензоры ^a'/. '. будем называть ^-спроектированными.
Аналогично введем операторы проектирования на 2-мерные пространственно-подобные у-сечения:
_р
= • -Vo.
P
так что для произвольного тензора
= (7.56)
Результирующие тензоры ^a. '. '. 'іаз-пом у-спроектированиыми. Например, квадрат пространственно-временного пчтерпілі }'ожно записать следующим образом: ds2 = b^ dx ^dxv- y,uv dx ^ dx V*
Очевидно, возможны смешанные проекции, тогда значок проектирования «Л» или «—» следует ставить над соответствующим индексом.
Д и а р н ы е физико-геометрические тензоры. Из первых производных от диарных составляющих метрического тензора можно построить четыре и только четыре независимых днарпых физико-геометрических цензора:
Qayf = (1/2) ( ЬЪ>ЬУ+ bV ь°а) Tp *|xv;o = by b^c,г vgj (7-57)
Sa у, F= (J/2) ( тё Vy + V? vS) b}, V,c = Уу eUO.с bI- (7-58>
* Общековарнантный диарный формализм под названием диадпого развит в работах [111 — 113].
139: Л„у,W = (1/2) (?^- ^ Yp ^c = b* Ь°Eeailx Vpj; (7.59)
у, Г = С/2) (1Й Y?- V? Yr*) ^ = їй Y^fW bI- <7-60)
Здесь и в дальнейшем приняты обозначения:
V.e = <V2) (v,a + W - W); bU = V.e;
V,e = (1/2) ( Y|іє,а + Yaeltl- Ytlaie); ^a= Y^ ?(la.f-
Диарные операторы дифференцирования. Введем следующие четыре оператора дифференцирования Ь- и у_спРоектированных тензоров: диарную 6-производную от Y-спроектированных тензоров
дкЦ::: ^ f.М^Ж:/,
ковариантную Y-производную от ^спроектированных тензоров
ъЦ:::=- 1X'. t:: чі ::. (7-62)
диарную Y-производную от ^-спроектированных тензоров
ЗДГ:: - - ::: y? V<A::. (™з)
ковариантную 6-производную от ^-спроектированных тензоров
va:: = (7-64)
Здесь Va —оператор обычного ковариантного дифференцирования относительно символов Кристоффеля , которые выражаются через введенные величины следующим образом:
rgp = + - Ytte - ^ SafU- (7-65)
Запись общековариантных уравнений и соотношений в д и арном виде. Это можно сделать, используя введенные диарные физико-геометрические тензоры и операторы проектирования и дифференцирования.
7.5. ГРУППОВЫЕ КАЛИБРОВКИ ДИАРНОГО ФОРМАЛИЗМА
В диарном формализме, так же как в монадном и диадном, существуют групповые калибровки, связанные с выделением характерных классов преобразований координат [114, 115]. Прямыми аналогами ранее рассмотренных калибровок являются четыре, которые, как будет показано, встречаются парами. Будем обозначать эти калибровки парами прописных букв: В (временно-подобное направление) и П (пространственно-подобное направление); причем, когда калибровки являются аналогами хронометрической (хориометрической) калибровки будем писать при этих буквах индекс выделяемой координаты вверху, а когда они являются аналогами кинеметрической (орометрической) калибровки, будем писать индекс выделяемой координаты внизу.
B0O1- и П2П3-калибровки. Алгебра. Рассмотрим класс таких систем, в которых контравариантный метрический тензор b?v имеет вид (В°П1-кали-бровка):
(,Ь00 Ь01 О 0\
Ь10 Ь11 0 0 1 , т.е. ЪаЬ+ 0; 0. (7.66)
О О О О I ' '
О ООО/
140: Здесь и в дальнейшем индексы а, Ь, с ... принимают значения О и 1, а индексы і], ер, *ф, ?— значения 2 и 3. Все подобные системы координат связаны такими преобразованиями, что
