Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
дх'% дх'%
'¦ 0 .
= —— —— ^v=O-
дх11 dxv
дх°
дх1
Это значит, что выделяются преобразования координат
xf0 = хг0 (xq, , X2, я3); xfl = xfl (X0, X1, X2, X3); xf2 = xf2 (х2, я3); х"3 = х'3 (x2, я3).
В монадном формализме использовалось условие нормировки Tv^v = 1. В диар-ном формализме потребуем выполнения соотношения
(7.67)
(7.68)
(7.69)
Тогда, вводя обозначения
ь = SooSn -S201; у = ?23?23 - ?22?33¦
однозначно находим все компоненты тензоров ^v и у :
Ї22
„HV __
V>*=gll/b; &oi = —g01/b; ъ
bu = gjb;
. =-023/
(Soo Soi &02 So3) SlO Sll Sl2 Sl3
S20 ?>21 f b
\8зо &31І to
: s33/t; ї2з = — S23Ir, Тзз = S22Ir, ya? =
ь Д03— XT03N
\ -S02 -S03N J -S12 -S13
^20 _я21
-S'
22 _g-23
_g30 —gSl _g32 __ g33y
(7.70)
(7.71)
где
Л,Об
(1/? [SnSogSon ~t~ SooSigSir] Soi (SogSir1+ Si^Sor1)]; - (1/Y) [S33S2V0 + S22S3V^ -S23 (S2V^ + S3Vb)]-
Легко видеть, что формулы (7.70) и (7.71) можно было получить, исходя из Vi2Tl3-калибров Ku, т. е. рассматривая такие системы координат, в которых ковариантный метрический тензор Y1
(LlV
имеет вид
Vjliv
^O О 0 0 \
0 0 0 о
о о Y22 Ї23
0 Їз2 У33 J
уы * V1
a?
=о.
(7.72)
При этом опять приходим к выделению преобразований координат (7.67), (7.68). Условие (7.69) соответствует равенству
(7.73)
VvVt1V = St1-
Назовем BcW-инвариантными (B0H1- и.) 2-тензорами величины, которые ¦остаются инвариантными при преобразованиях координат (7.67) и являются 2-мерно ковариантными при преобразованиях (7.68). Аналогично, назовем П2По-инвариантными (П2П3- и.) 2-тензорами величины, которые, наоборот, инвариантны при преобразованиях (7.68) п 2-мерно ковариантны при преобразованиях (7.67). Свойством B0O1- и. обладают компоненты с индексами г) ... = 2, 3 Y-спроектированных тензоров, т. е.
141:Al-- - — ГІ- - -V. - - Д\1.-Т] • • . (LI. . . Т) . . . V . .
Свойством П2П3-и. обладают компоненты тированных тензоров, т. е.
А
(7.74)
с индексами а, Ь, с ... = 0, 1 6-спроек-
4..t
pa. . .v. . . дії. .
0Ii.. .b. . . V. .
(7.75)
Существенным свойством рассматриваемой калибровки диарного формализма является одновременное наличие величин двух типов: B0Il1-H. и П2П3-и. В хронометрической и кинеметрической калибровках монадного метода фактически имела место аналогичная ситуация, однако там из величин одного типа (пользуясь их одномерностью) можно было образовать инварианты относительно выделенного класса преобразований координат (делением на "j/goo или *j/g00). Аналогичные инварианты можно построить и в этой калибровке диарного формализма, однако только из тензоров четного ранга. Так, для симметричных тензоров второго ранга ^v = BV|A имеем инварианты:
B11^ = S =
^ivYliV = * =
ffppgll — ^oigQl + ^llgoo
googii go 1 __ B22g33 — 2 B23g23 + B33g22
g23g23 — g22g33
Для антисимметричных тензоров второго ранга Д
(7.76)
_ _А
(LlV Vll у
воспользовав-
шись соотношениями: (goo&n — &01&01)' = '-S22S33Y=
дх° дх1
дх° дх1
дх'° дх'1 дх'2 дх'3 дх2 дх3
дх'1 дх' дх'2 дх'3 дх3 дх2
;1 \
T^ J (ёооёи— Solgol); (g23g23-g22g33),
(7.77)
получаем инварианты:
A)i/Vgoigoi—&00&U ; A23IViFgw-
' g23g23
(7.78)
Физик о>-г еометрические тензоры. В данной калибровке один из физико-геометрических тензоров тождественно обращается в нуль: Afl^ =0; из оставшихся трех величин можно образовать смешанные тензоры: Qabt^ ;
sIntCi' wIntC1-
Диарные операторы дифференцирования. Перечислим их. 1. Диарная 6-производная по индексам 0, 1 от у"спр°ектированных В°П1-и. величин записывается в виде
(7.79)
•Я»-//. - Idxa.
Действие оператора (7.79) не зависит от ранга и ковариантности дифференцируемой величины. Этот оператор является прямым аналогом х. и. оператора временного дифференцирования в хронометрической калибровке монадного формализма.
2. Ковариантная у~пР0ИЗВ°Дная п0 индексам 2 и 3
приводит величины
-As By-
к B0FI1-H. выражениям.
+ . -
Здесь использовано'
от В°П!-и. тензоров (7.8»)
обозначение В°П1-и.
ду.
- Ytt
дх°
ду<
;ф
дх°
Лф \
^y
(7.81)
142:Оператор (7.81)—прямой аналог х. и. оператора ковариантного дифференцирования (3.82). Заметим, что оператор дифференцирования B0Il1-H. тензоров
~д/дхУ = — у°д/дх° (7.82)
также является B0Il1-H. и не зависит от ранга дифференцируемой величины. Oi: является аналогом х. и. оператора пространственного дифференцирования (3.81).
3. Диарная упроизводная по индексам 2 и 3 от П2П3-и. величин
^-?::: = -?^?:::/^-^^?-//.- . . . + 7??:::+- • •
(7.83)
по форме соответствует монадной временной производной (3.97) в кинеметрической калибровке.
4. Ковариантная ^-производная по индексам О и 1 от П2П3-и. величин
ViAab-: :=0?;:+ BPcdAdb:;; + . . . - BdcbAad-;;- . . . (7.84)
представляет собой 2-мерную ковариантную производную и по форме является прямым аналогом пространственной производной в кинеметрической калибровке монадного метода (или кинеорометрической калибровке диадного формализма).