Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
7.!. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ОБЩЕКОВАРИАНТНОГО ДИАДНОГО ФОРМАЛИЗМА
Диадный формализм (метод) [103], так же как и монадный, слагается из четырех частей. Кратко изложим их последовательно.
Алгебра. В диадном формализме метрический тензор представляется в виде
Sixv = Wv — Vv -Ynv, (7.1)
где составляющие удовлетворяют соотношениям:
V^ = 1; уи = — 1; YlivYnv = 2;
V^ = ThV14v = InViv = о
(Tjiv — метрический тензор 2-мерного пространственно-подобного локального сечения, ортогонального хм- и /^). В диадном формализме используются либо скаляры — тензорные величины, свернутые по всем индексам с векторами т^ и № (например, В = BmivTM-Tv, В = BixvMv, В' = BlivTHv), либо 2-мерные тензоры —
5 Зак. 1152 J9Q
(7.2) тензорные величины, спроектированные на направления 2-мерной поверхности посредством y^:Bv= —?mTv; ... .B?." I=F^I I Грі I I^Sv.".'где-
n m
= (_ 1 (7.3)
n m
— оператор проектирования на 2-мерные направления.
Диадные физико-геометрические тензоры. Из диадных составляющих метрического тензора и их первых производных можно построить 11 независимых диадных физико-геометрических тензоров.
Семь тензоров получаются всевозможными проектированиями монадных физико-геометрических тензоров на направления у и I:
Dap = YSYpDlIV - — Av, О Tg; (7.4) + [см. (7.13), (7.14)];
D = IixIvDixv = тT (Ill, v - Iv, ^ (7.5)
Aa? = YaY? Ауц = (1/2) УаУІ (V v — Tv, ц)', (7.6)
Qa = YSTMliv = (1/2) YS Iv (Tlii V - Tv. (7.7)
Fa — Ycc^jLi = — YaT (TjifV Tv,|u) = T (Ta,v Tv,а) ~T" IaF \ (7.8)
= Xuiv-Xtfili). (7.9)
Здесь ?|1Vio = (1/2) + dyjdx* - r)7|iv/r)x'0).
Три диадных физико-геометрических тензора получаются аналогично монадным заменой и Hliv соответственно величи-
нами t и Ymv.'
da? = — (1/2) (Itl, v + lv, ?) = - yaV?^v.a Л (7.10)
Gap = (1/2) v?v? (l?,v-ivj; (7.11)
fa^-y^f (Illrv-Ivttl) = f (la,V-lv,a)-taD. (7.12)
Наконец, одна векторная величина появляется из совместного рассмотрения двух векторных полей:
qa = (1/2) y%t* (/|iiv _ /Vi|l) = _ (1/2) TV (la,v - /v>a) + (1/2) IaD. (7.13)
Комбинируя формулу для —Ya IvDliv и (7.13), находим:
Л«= (1/2) Yap П1%)- (7.14)
Итого, имеем: четыре тензора второго ранга; пять векторов и два скаляра.
Задание диадных операторов дифференцирования. В качестве основных диадных операторов дифференциро-
130: вания выберем следующие три, которые при действии на Y-cnP0-актированные тензоры дают опять v-спроектированные тензоры: диадный оператор временного дифференцирования
т
дтЩу/. = Пі:; йЩ:;; = T0OBl1:; -Jdxa -
п Х
-NaixB0:::- . . . + KaMw: + . . (7.15)
^ —" -
m п
где Ni. = - T0Fk - 21°Ch - 24ЛСТ;
диадный оператор дифференцирования вдоль I
m
dL в»:::= : :: - і°дЩ:; :/дх° —
п ^
-L0ixB0:::- . . . + ІЖ;: + . . (7.іб>
m п
тде V0 =Xx - f f% + ^t0Ql - 2т, Aa;
диадную ковариантную производную вдоль направлений у
V-^::: -.•..' (7.17)
Запишем результат коммутации операторов V- и действую-
щих на произвольный вектор Bli :
(V-Vjf ~ VpV-) В» = + 2Лар (BrBfk - -
-2^(^-4? (7.18)
где — тензор кривизны 2-мерной y-поверхности:
- ТО (дЕЕу Jdxyi - dEeyJdxv + ElJ0yv - ElvE0yyi) (7.19
= Еа$ + Ta,? — обобщенная 2-связность).
Запись основных соотношений ОТО в диадном виде. Все общековариантные соотношения и величины можно представить в диадном виде, т. е. записать только через скаляры, y-спроектированные тензоры, диадные физико-геометрические тензоры и диадные операторы дифференцирования. Уравнения и тождества ОТО в диадном виде имеют довольно громоздкий вид. В дальнейшем будем приводить некоторые соотношения по мере надобности.
5* 131 7.2. ГРУППОВЫЕ КАЛИБРОВКИ ДИАДНОГО ФОРМАЛИЗМА
Введем групповые калибровки диадного формализма, аналогичные изложенным в гл. 3 калибровкам монадного метода. Теперь их будет значительно больше. Ограничимся лишь случаями первичного выделения временно-подобного вектора Tm-, тогда имеем четыре калибровки диадного формализма. Подробно изложим одну из них и кратко охарактеризуем остальные три.
Кинеорометрическая калибровка *. Алгебра. Откалибруем диаду (т^, /?} в два этапа способом, аналогичным кинеметрической калибровке монады:
4=gllVg00
V^
/ = ^ ________
д У+/*11 (g0ig01 - ^0V1)' Vg0Yn - S00 g11
0; 0
V+/Z1
= 0;
VgOlgOO ^gOOgll
ygoo
g01g02 _ gl2g00
(7.20)
VgOOteOl gOl _ g00 gll) ' VgOO (g01g01 _ gOOgll)
где jrIiixl — компоненты метрического тензора 3-мерного пространственного сечения в кинеметрической калибровке монады. Компоненты 2-мерного метрического тензора Yptv тогда найдем в
виде
_ gV^gSngOO _ (gOigEO__gl|gOo)(giOgnO_g^gOO) T - goo ^00^0?01-^0?11)
Y0M- — уїд = 0; Ygr| = — glr]- їоо = — g00
Yn —
+
gOigOI-gOQg^
gll-
01
Ol0Ol_ tfOOpll
gvl?
g
OlfrOl_ ffOOrrll
gUUgX
I I
їл = — gfi;
gOlgOl_gOOg11
Yoi = — goi +
g01g1E-gV .
Ol0Ol_g00gn *
g"Lg[
Y0 = Y1 = 0.
• U rLL
(7.21)
Здесь и в дальнейшем индексы g, Z1 rj, ер, ф пробегают значения 2, 3.
