Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, инфинитезимальный оператор представления Rx(g), соответствующий подгруппе g+(t), имеет вид
Л+ (F+ (к), F__ (X)) = (X - 1) (- F+ (X - 1), F__ (X - 1)). (1)
Точно так же доказывается, что подгруппам g^(t), z (t), e(t) соответ-
ствуют инфинитезимальные операторы
Л__ (F+ (X), F_ (X)) = a (F+ (X + 1), - F__ (X + 1)), (2)
Z (F+ (X), F__ (X)) = a (F+ (X), F__ (X)), (3)
Ё (F+ (X), F_ (X)) = (со - X) (F+ (X), F_ (X)). (4)
Инфинитезимальные операторы, соответствующие подгруппам gt (t) и gi(t), имеют вид
Л (/ч(Х),/=•_(*))=
= (cF+(\ + 1) - (X - 1) F+(X ~ 1), - aF_ (X + 1) + (X - l)F_(k - 1)),
(5)
Л (/% (X), F_(\)) =
= (cF+ (X + 1) + (X - 1)F+ (X - 1), - aF_(k + 1) - (X - 1)F_(X - 1))
(6)
6. Вычисление ядер представлений. В п. 2 было доказано, что любая матрица g из группы О может быть записана в виде
g= е (tj) h (г) е (т — tj) z (b),
где z(b) и в(Ь) задаются равенствами (3) и (4) п. 1, a h(r) является матрицей, принадлежащей одной из подгрупп g+(t),g_(t), gi (t), g*(t). Матрице z(b) соответствует в представлении Rr(g) оператор умножения на фуН1<Цию е°Ь< а матрице е (т) — оператор умножения на
406 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII
е(т-х)т ^см п 4^ Поэтому достаточно вычислить ядра для элементов подгрупп g, (t), g_ (t), g^t), g<i(t).
Начнем с подгруппы g+(t). Для элементов этой подгруппы Ь = = d = т = 0, и потому
ОО
(X, |х; ¦/} g+ (0) = 4а ] у аУ
и
Если t^> 0, го имеем
1 г , 1 Г(ц-Х)Г(Х) л ,х ,п
/C++ (X, p.; х; g+ (0) =2rf) У* Су — 0 1 dy = ъл г м ' ( ’
}
Этот интеграл сходится при Re |х Re X 0.
Точно так же доказывается, что при ?^>0
к *;*+(*))=о, (2)
/С_+ (X, |х; х; ?+ (*)) = (3)
где Re(i<^l, ReX^>0, и
К- (К w X'. (0) = Г<^ЛГ* (4)
где Re X Re [х 1.
Теперь рассмотрим операторы, соответствующие элементам подгруппы g (t). Здесь получаем
ОО
/C++ (X, к х; g- (*)) = i dy.
0
Этот интеграл сходится, если Rea?<^0 и равен
*г++(х. к х; g-(Q)= г- ~-1га<—• (5)
Будем, как и выше, считать, что Reo<^0. Тогда формула (5) имеет место при Г>0. Точно так же доказывается, что при Reo<^0, ?^>0
/С+_ (X, [х; Х; g- (0) = 0 (6)
и
К_+(Х,[х;х;^(0) = 0. (7)
Ядро же АГ_(X, [х; х; (0) ПРИ Rea<^0, ?^>0 выражается расходя-
щимся интегралом.
§ 2] ГРУППА ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 407
Рассмотренные до сих пор ядра приводили лишь к степенной функции. Элементам же подгрупп gl (t) и gg (t) соответствуют ядра, выражаемые через функции Уиттекера. Для определенности будем считать далее, что о=—1.
Из формулы (7) п. 4 следует, что
ОО
К++(К к х; й(0)=2^ е'2/2 § е1Уу^ (у — tf 1 rfy.
t
Делая подстановку у — t = tx и используя равенство (2) п. 1 § 1, выводим, что при t~^> 0
w х;й(0)=
= i 2 ^ (х + V* х" Ых = Ш х-, П (8) б' 2 ' 2
где Re X 0.
Совершенно аналогично доказывается, что при о = —1, ?^>0 К+ (X, ij.; х; gi (0) = 0, (9)
Г ft-,! lit П <1 °>
где ReX^>0, Re jj. 1. Наконец, (X, |х; х; gx (t)) выражается расхо-
дящимся интегралом.
Точно так же устанавливаем, что при о = —1, ?^>0
(X, [х; х; g8 (0) = ЧГх+ц-. (11)
2 # 2
где Re(j.<^l. Далее,
^+- (X- к х; ft (0)=ёй ^--7Т ’ j Мх+<;~' (12)
где Re X 0 и Re |х 1,
К__+ (X, |х; х; ^ (0) = 0. (13)
Наконец, интеграл, выражающий /(__ (X, |х; х; й (0). при о =____1,
?^>0 расходится.
Во всех рассмотренных случаях переход от f к — t сводится к замене знаков-индексов на обратные:
К++ (X, [х; х; g+ (— t)) = К _ (X, |х; х; g+ (0). (14)
и т. д.
408
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ
[ГЛ. VIII
§ 3. Функциональные соотношения для функций Уиттекера
1. Соотношения между инфинитезимальными операторами и операторами представления. Вывод рекуррентных соотношений для функций Уиттекера основан на некоторых соотношениях между операторами представления Rx (g) и инфинитезимальными операторами этого представления.
