Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 38 (из книги Г. Крамера, Математические методы статистики, ИЛ, М., 1948, стр. 477). Юханнсен измерял толщину 12 000 бобов. Результаты измерений были разбиты на 16 классов. К первому классу были отнесены бобы с толщиной менее 7 мм, ко второму — бобы с толщиной от 7 до 7,25 мм и т. д. (верхняя граница каждого последующего класса всегда на 0,25 мм больше верхней границы предыдущего класса). Количества бобов ¦г,, а\;,. . ., х16 в этих классах указаны во втором столбце таблицы, следую-лцей ниже. Для того чтобы проверить, подчиняется ли толщина бобов нормальному распределению, сначала по группированным данным были вычислены т и в с шеппардовской поправкой, причем оба концевых интервала (до 7,00 и свыше 10,50) были разбиты на частичные интервалы длины
4,25. В результате вычислений получились оценки
т 8,512, в =0,6163.
По этим т и s была построена функция нормального распределения, с помощью которой были найдены оценки пр,- для математических ожидании (столбец 3). Разности xt — npt указаны в столбце 4. Оказалось, что вели-
Б. Л, ван д°р Варден - 1062
290 Г л. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев
Классы X пр X --- пр
До 7,00 32 68 - 36
7,00--- 7,25 103 132 --- 29
7,25--- 7,50 239 310 --- 71
7,50--- 7,75 624 617 + 7
7,75--- 8,00 1 187 1 046 + 141
8,00--- 8,25 1 650 1 506 + 144
8,25--- 8,50 1 883 1 842 + 41
8,50--- 8,75 1 930 1 920 + ю
8,75--- 9,00 1 638 1 698 --- 60
9,00--- 9,25 1 130 1 277 --- 147
9,25--- 9,50 737 817 --- 80
9,50--- 9,75 427 444 --- 17
9,75---10,00 221 205 + 16
10,00---10,25 110 81 + 29
10,25---10,50 57 27 + 30
Сныше 10,50 32 10 + 22
Сумма 12 000 12 000 0
чина х2 равна 196,5, в то время как 0,1%-ная граница для 13 степеней свободы равна 34,5. Следовательно, с большой уверенностью можно утверждать, что распределение толщины бобов не является нормальным. Разности х — пр показывают, что это распределение обладает значительной асимметрией: очень толстых бобов больше, а очень тонких бобов меньше, чем полагалось бы при нормальном распределении.
§ 57. Критерий, основанный на дисперсионном отношении (критерий F)
Пусть «J и s| — две независимые сценки для дисперсий о\ и сг| соответственно. Как проверить гипотезу а-1 = сг,?
Если s% и s§ получены с помощью известной формулы по % и щ наблюдениям соответственно и если отдельные наблюдения независимы и распределены нормально, то случайная величина
(1)
<ri
подчиняется распределению х2 с Д = п1 — 1 степенями свободы, а случайная величина
§ 57. Критерий, основанный па дисперсионном отношении 291
подчиняется распределению с А = щ — 1 степенями свободы. Если o-j = о-2, то
Z ,2
(3)
A t И
X» /я
Для проверки гипотезы o-j = о-а вычисляют отношение выборочных дисперсий (дисперсионное отношение)
F=i • w
02
Если отношение F превосходит границу F?> то гипотеза ег^ = = о-2 отвергается. Это правило1 называют критерием F. Граница Fp выбирается так, чтобы в том случае, когда гипотеза o-j = о-2
верна, вероятность события F > F^ в точности равнялась задан-
ному уровню значимости ;S.
Для того чтобы вычислить Fp, мы должны найти функцию распределения случайной величины F при условии, что гипотеза o-j = о-2 верна. Эта функция будет известна, если мы найдем функцию распределения 11{и) отношения
х* _Л«1_А и /г\
—» = 2=1 *¦ (5)
Хг /i«2 ^
Плотность вероятности для ^ задается формулой
/»\ J9- А ^ „¦! 1
g1(t) = a1t~ е - , где аг =------------------г- .
'(9
Для плотности xl формула будет аналогичной. Следовательно, вероятность тосо, что отношение (5) окажется меньше w, равна
II(w) = ах а2J1е 2 и2 1 е 2 “ dtdu, где интегрирование производится но области
(6)
О 0, и > О, jj < w.
Двойной интеграл (6) можно представить в виде двух последовательных интегралов:
dt. (7)
1 Р. А. Фишер строил критерий с помощью статистики z = (In F>/2.
19*
292 Г л. XI. Проверка гипотез с помицью статистических критериев
