Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
si 1,116
Точно таким же образом можно вычислить Flt F2, . . ., F30 исследователю j при сравнении со всеми остальными ставится в соответствие отношение Fj (7 — 1, . . 31). Наибольшим из этих Fj является F31.
Если отвлечься от остальных результатов, превосходит 5%-ную границу 3,04. Однако, хотя вероятность того, что определенное отдельное Fj превзойдет F и равна 0,05, тем не менее для Fn мы не имеем права делать такое заключение: значение F31 является наибольшим из всех Fj, и событие, при котором хотя бы одно Fj превзойдет Fp, отнюдь не маловероятно. Если, в действительности, все <тг равны друг другу, то вероятность того, что все Fj будут меньше F^ равна1 (0,95)31 = = 0,20, следовательно, вероятность того, что хотя бы одно Fj будет больше Fa, равна
1 — 0,20 0,80.
То, что F31 превосходит 1%-пую границу, также еще почти ни о чем не говорит, так как вероятность случайного осуществления этого события
1 — (0,99)ai = 0,27
все еще велика. Если бы F31 превзошло 0,1 %-ную границу, то наличие грубых ошибок у 31-го исследователя было бы доказано, но так как эта граница равна 7,15, то F31 ее не превышает.
Более благоприятное положение складывается при проверке Fie, так как ^эо имеет большее число степеней свободы, чем Fn. Находим
4,82
*,53.
1,066
Эта величина значительно превосходит 0,1 %-ную границу, равную
3,26, Вероятность того, что это событие произошло случайно, равна2 лишь
1 — (0,999)31 = 0,03. Следовательно, гипотезу о том, что результаты исследователя 30 имеют такую же дисперсию <хг, как и результаты остальных исследователей, следует отвергнуть.
Исключив исследователя 30, можно снова сравнить точность исследователя 31 со всеми остальными (с 1 по 29). В данном случае находим
7,60
F31 -1— = 7,60.
1,00
1 Это утверждение было бы справедливо, если бы все Fj были независимы. На самом деле они являются зависимыми, так как связаны соотноше-н нем v [1^/(1 + ViFji] = 1, где vt = (щ — 1)/^ (nj — 1). — Прим.
перев.
2 Здесь автор снова допускает ошибку, так как вероятность события F30 > 3,26 не равна 0,03 (см. предыдущую сноску). — Прим. перев.
§ 57. Критерий, основанный на дисперсионном отношении 295
Эта величина превосходит 0,1?о-ную границу, равную 7,15, поэтому исследователя 31 также надо исключить.
После исключения исследователей 30 и 31 можно продолжать проверку с помощью этого же метода. В результате последовательно будут исключены исследователи 28, 27, 29 и 26. Вероятность ошибочного исключения во всех случаях менее 0,03, следовательно, вероятность того, что хотя бы одно исключение из шести было ошибочным, не превосходит 0,18.
На первый взгляд заключение с вероятностью ошибки 0,18 может показаться неосторожным. Однако более точная проверка показывает, что большинство заключений остаются справедливыми также и прп 0,05%'ИОЙ границе. В результате оказывается, что выборочное среднее значение содержания метана у исследователей 29 и 30 слишком велико, а у исследователя 31 слишком мало. Следовательно, исключение номеров 29, 30 и 31 не было ошибочным. При исключении трех остальных исследователей вероятность ошибки каждый раз оказывается меньше 0,014, а общая вероятность ошибки — меньше 0,042. Если ошибку, вероятность которой равна 0,05, считать допустимой, то исключение шести исследователей: 31, 30, 29, 28, 27 и 26, следует признать оправданным1.
Средняя выборочная дисперсия на одного исследователя, вычисленная по оставшимся данным (с 1 по 25), равна
10,1
0,63.
V(W — 1) 175
Величина s2 представляет собой несмещенную оценку дисперсии о-2 одного измерения и не отражает колебания выборочных дисперсий для отдельных исследователей, поэтому в2 можно назвать дисперсией воспроизводимости2. Величина в равна 0,8 (% метана).
Следует отметить, что даже в том случае, когда исключены показания исследователей, допускающих наибольшие отклонения, результаты измерений, произведенных в различных лабораториях, могут отличаться друг от друга на величину, почти вдвое превосходящую3 я. Для квадратичного
1 Для проверки гипотезы об однородности ряда дисперсий в данном случае следовало бы применить специальные критерии (см. X а л ьд А., •Математическая статистика с техническими приложениями, ИЛ, 1956, гл. ХГ, § 6). — Прим. ред.
2 Оценка в1 представляет собой среднее взвешенное выборочных ди-
сперсий для отдельных исследователей: s2 = (ni— 1) ah/ У', (иг-— 1). Если гипотеза о равенстве дисперсий верна, то ? (ni— 1) подчиняется распределению хг с f = 2 (ni—0 степенями свободы. Это позволяет построить доверительный интервал для сг. .Например, в данном случае 95%-ный интервал задается неравенством 0,72 С а- < 0,90. — Прим.