Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если рвести новую переменную интегрирования у = tju и положить Л + Д = /, то получим
оо w
#(&’) = ах сл21 du\и2 у-1 е 2 В 2 dy (8)
о о
или, меняя порядок интегрирования,
W оо
Г 1f— 1 Г -7 — 1 —1 ц
= aj a21 у2 1 ?m u2 e 2 (9)
о о
Внутренний интеграл представляет собой гамма-функцию:
(Ю)
о
Таким образом.
ш
//(«')= С j'?/3/1 г(?/+1) 2/(fy. (11)
0
где
с -= '"тгг /П ' (12)
г 1 г Г
Интеграл (1 Г) является неполной бета-функцией, и при целочисленных /1 и / его, очевидно, можно вычислить элементарно. Таким образом, функция распределения H(w) известна. Подстановкой
w = ^w’ (13)
/ 8
получим из Н(и>) функцию распределения G(w') для отношения F. Искомая граница tv' --- определяется как решение уравнения
G(w') — 1 — ft. (14)
Эта граница, помимо ft, зависит также от Д и /2. Границы Fp для ft = 0,05 и 0,01 указаны в табл. 8А и 8Б.
Пример 39. В США в 30 лабораториях производился анализ газов. В каждой лаборатория делалось несколько анализов (в большинстве слу'
§ 67. Критерий, основанный на дисперсионном отношении 293
чаев 10), отдельные результаты которых были опубликованы М. Шефер-дом1.
Если по этим результатам попытаться вычислить дисперсию внутри лабораторий2, то возникнет затруднение, связанное с тем, что внутри отдельных лабораторий выборочные дисперсии s2 сильно отличаются друг от друга: имеются более хорошие и менее хорошие лаборатории. Если желательно вычислить среднюю выборочную дисперсию «2 для хороших и средних лабораторий с тем, чтобы потом ее можно было принять за норму качества анализа для Есех лабораторий, ю совсем плохие лаборатории нужно из этого осреднения исключить. Однако те®2, которые лишь случайно оказались несколько больше всех остальных, исключать не следует, так как в противном случае среднее будет иметь отрицательную систематическую ошибку.
Для исключения больших в2 можно применить критерий F. В качестве примера рассмотрим определение количества метана так называемым «методом сжигания А», который применялся большинством лабораторий.
В некоторых лабораториях анализ проводился двумя различными исследователями. При этом оказалось, что различие результатов обоих исследователей, как правило, несколько больше различия результатов, полученных отдельным исследователем. Поэтому для оценки дисперсии нужно выделить результаты каждого исследователя из общей массы наблюдении и с их помощью вычислить выборочные дисперсии по формуле
Q _
*2 = ---- ^ где Q = yi (д. „ ^
П — 1 ^
Где х — процентное содержание метана.
Полученные результаты указаны ниже в порядке возрастания выборочной дисперсии s2:
в Л --- ! 5* П --- 1 S*
1 0,0 1 -= 0,00 16 _ 5 =-- 0,72
3,6
2 0,6 9 = 0,07 17 6,7 = 0,74
3 0,8 9 = 0,09 18 7,3 9 = 0,81
4 0,4 4 = 0,10 19 4,0 4 1,00
5 1,3 9 --- 0,14 20 8,3 8 ^ 1,04
6 0,6 4 --- 0,15 21 9.1 8 = 1,14
7 0,6 4 =- 0,15 22 18,1 15 = 1,20
8 1,5 9 = 0,17 23 5,9 4 - - 1,47
9 1,8 9 0,20 24 13,8 9 1,53
10 2,2 10 = - 0,22 25 10,2 6 = 1,70
11 0,9 4 - 0,23 26 21,1 9 = 2,34
12 3,5 9 = 0,39 27 28,5 9 3,17
13 3,8 9 0,42 28 29,9 9 - 3,32
14 - 0,60 29 16,9 4 = 4,23
15 = 0,65 30 43,4 9 = 4,82
31 15,2 2 = 7,60
Как видно, результаты исследователя 31 имеют значительно большую дисперсию, чем результаты всех остальных исследователей. Для того
1 Shepherd М., J. Res. Nat. Bureau of Standards, 38 (1947), 19.
2 Т. e. дисперсию результатов анализа в отдельной лаборатории — Прим. перев.
294 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев
чтобы проверить, не является ли это случайностью, мы разделим выборочную дисперсию s?= 7,60 на среднюю дисперсию всех остальных наблюдений, вычисленную по формуле
?(п— 1)
В результате получим si — 239,9/215 = 1,116 и
si 7,60 F„ = — = = 6,81.
