Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(19) указан в § 10. — Прим. перев.
§ 56. Применения критерия хг
281
Если отбросить множители, не зависящие от С, и вычислить логарифм, то получим
L{xlt х2 ] й) = [хх + ж2)1п И — (#х -f у д. (23)
Выражение (23) достигает максимума в точке
«-trf- (24>
Следовательно,
^2 __ (a?i ^i)a | (х2' (25)
Так как наблюдались два количества хх и х2 и один параметр € оценивался по формуле (24), то число степеней свободы равно
/ = 2—1 = 1. (26)
3, ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть результатами наблюдений являются п независимых случайных величин zx,. . ,, zn. Нужно проверить гипотезу, согласно которой все zt распределены одинаково нормально.
С этой целью можно вычислить эмпирическую функцию распределения и применить критерий Колмогорова (§ 16). Ранее было уже отмечено, что «хвосты» распределения, т. е очень большие и очень малые значения z, учитываются этим критерием относительно слабо. А как раз поведение «хвостов» может, при определенных условиях, оказаться решающим для суждения об отклонении от нормальности!
Применение критерия Колмогорова затрудняется еще и тем, что математическое ожидание и дисперсия нормального распределения, как правило, бывают неизвестны.
Хорошим методом, несколько сильнее учитывающим поведение «хвостов», является метод моментов. Мы здесь дадим лишь краткий обзор этого метода. Обоснование можно найти в книге Крамера (Крамер Г., Математические методы статистики, ИЛ, М., 1948, гл. 27.1 — 28.4 и 29.3).
Центральные выборочные моменты определяются формулами
mk = 12 (г — *)* (*=1.2,...).
По определению, первый момент пц равен нулю. С помощью гщ, я, и т, вычисляются асимметрия и эксцесс, которые равны соответственно
Щ> т*. ~
— —--- ( дг------- — 3.
т\
8 ml
При больших п все тк, а также дх и дг распределены асимптотически нормально. Эти случайные величины можно использовать в качестве оце-
282 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев
нок для истинных моментов /х*, а также для асимметрии и эксцесса истинного распределения
Yi=-—Y2 = —-3.
VtA ^
В случае нормального распределения и у, равны нулю.
При конечных п целесообразно заменить дг и да величинами
Уп(я — )) _ п — 1
Gi = ----------- л и <?i = —----------------[(и + l)ffi + 61.
1 п — 2 1 (n —2)(п —3) 1
Если истинное распределение является нормальным, то математические ожидания 0, и б, в точности равны нулю. Их дисперсии задаются формулами
, 6 п(п — 1) , 24 п(п — I)2
VI = —-------——. - , сг* =
(я - 2)(п + 1)(п + 3) (п — 3)(п - 2)(п + 3)(п + 5)
Следовательно, с помощью статистик Q-Jcrx или <?2/сг2 можно построить критерий для проверки нормальности истинного распределения. Обе статистики асимптотически нормальны с нулевым средним значением и единичной дисперсией.
Метод %л можно применять не только при нормальном, но также и при других распределениях. Согласно этому методу, интервал изменения г разбивают на г частей, границами которых служат точки .. ., iT_x, и подсчитывают количество z} в каждом частичном интервале. Пусть эти количества равны a?i,..., хг.
Для того чтобы можно было вычислить х2> нужно зкать математические ожидания npt, а для этого нужно в свою очередь найти оценки т и s для среднего значения и квадратичного отклонения истинного нормального распределения. Зная эти оценки, можно положить
ft
= Ф - ф ('-bi-J?) . (27)
Если мы хотим применить теорию из § 51, то в качестве т и s мы должны выбрдть асимптотически эффективные оценки,
которые зависят лишь от xJr.. . , хп. За первое приближение
можно принять известные оценки
т0=Х-2*, (28)
5о=^2(г-я*о)2. (29)
Однако (28) и (29) не удовлетворяют указанному выше условию,
§ 56. Применения критерия %г
283
согласно которому оценки должны зависеть лишь от х(. С помощью го0 и s0 образуем
Й1=ф(^)-фр=>==1]. (30)
Для определения оценок го и s теперь можно воспользоваться методом наименьших квадратов и потребовать, чтобы выражение
. (31)
Ли nptо ' '
было минимальным. Функции р{ в (31) целесообразно заменить линейными функциями
Pt = Pto + — то) 4.1 + (* — so) Ti> (32)
где qt и т{ — значения частных производных от (27) в точке (го0, sQ):
Ъ = К. *о): Ti = (mo> so)- (33)
