Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
— -—^ [(и'—$ | JV) -f- и'2 + ю'й -f U* + V» ~h • • • -f- Wn ]
Се 2сг (23)
Следовательно,
Qi __»'2 + w'%
подчиняется распределению %2 с
(24)
fi = 2 (в общем случае fx = г — 1) (25)
степенями своооды, и точно так же
Qi _________________ Цд 4~ ^2 -f- 1Сг + . ¦ . + и,, + v,i + м.1,2,
(26)
подчиняется распределению с
/2 = N— 3 (в общем случае /2 = N— г)
степенями свободы. Оба отношения (24) и (26) независимы, так как плотность вероятности (23) представляет собой произведение двух сомножителей, из которых первый зависит лишь от и', v1, w1, а второй — лишь от и2, v2,. . wn. Таким образом,
Если все xit yj и zk независимы и распределены одинаково нормально со средним значением г) и дисперсией о-2, то отношение (22) подчиняется распределению F. Следовательно, для проверки гипотезы о равенстве средних можно применить критерий F. Число степеней
§ 58. Дисперсионный анализ
301
свободы в числителе и знаменателе равно г — 1 и N — г соотвегпствен-
но.
В приложениях целесообразно составлять таблицу следующего вида:
Дисперсия между классами .......................
Дисперсия внутри клас-
Дисперсия по всем наблюдениям ...................
Сумма
квадра-
тов
Число степеней свободы
Оценка
дисперсии
Q г <?2 Q
/l = Г — 1
/, = ^ ~ '¦
N - 1
«I
Qi-.fi"
Q2 '¦ /г
Q:(N— 1) = «г
В. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ОТЛИЧНЫЕ ОТ НОРМАЛЬНОГО
Можно ли применять критерий F в том случае, когда распределение х,у и 2 отлично от нормального? При исследовании этого вопроса мы предположим, что в каждом классе количество величин п не слишком мало, например, п з= 4. При этом предположении /1 = г—1 будет существенно меньше, чем f2 = (n—1)г. Отсюда следует, что относительная ошибка оценки sf подвержена значительно большим случайным колебаниям, чем относительная ошибка оценки s|. Поэтому функция распределения отношения F зависит главным образом от распределения числителя. Как видно из формул (18) и (19), числитель отношения F зависит лишь от х, у и z, которые представляют собой выборочные средние значения, вычисленные по выборкам объема я 4. Согласно центральной предельной теореме, такие средние значения имеют приближенно нормальное распределение даже в том случае, когда распределения отдельных элементов этих выборок сильно отклоняются от нормального распределения. Нели теперь по х, у, г построить две линейные комбинации v' и w' и сложить их квадраты, то последствия отклонения распределений х, у, z от нормального еще более сгладятся. Образование отношения (22) лишь незначительно ухудшит это приближение.
При малых «обстановка будет несколько менее благоприятной. Однако даже в случае п = 2 образование сумм и разностей
а-. + х2 х. — а-,
Ul У ? ’ и~ У2~
с последующим сложением их квадратов (и% -i vf + и] н и\ + -f- v\ -j- г?§) в значительной степени выравнивает отклонения от
302 Гл. XI. IIроверка гипотез с помощью статистических критериев
нормальности. Конкретные числовые примеры демонстрируют это свойство значительно лучше, чем рассуждения на основе общей теории.
Подводя итог, мы вправе сказать, что критерий F можно применять даже в том случае, когда не известно, подчиняются результаты надлюдений нормальному распределению или нет\ при этом ошибка будет небольшой1.
Пример 40 (по книге Fisher В. A., Stat. Meth., 11 ed. Ex. 38). Для экспериментального определения точности подсчета бактерий в почве некоторый участок земли был разбит на четыре равные части, с каждой из которых был произведен посев бактерий на семи пластинках. В результате на 28 пластинках были получены следующие количества колоний:
Пластин • ' Проба почвы IV
ка I 11 III
1 72 74 78 69
2 69 72 74 67
3 63 70 70 66
4 59 69 58 64
5 59 66 58 62
6 53 58 56 58
7 51 52 56 54
Сумма 426 461 450 440
Среднее 60,9 65,9 64,3 62,9
Для того чтобы проверить, являются ли отклонения средних в четырех выборках чисто случайными или нет, был применен метод дисперсионного анализа, который дал следующие результаты:
Сумма | Число степе- i Оценка квадратов 1 ней свободы дисперсии
Между классами ........ \ Qi — 95 | /1 = 3 ^ в? — 32
Внутри классов ...... ' Q2 — 1446 /2 = 24 j s\ — 60
