Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Д. СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть некоторое событие в первых опытах наступило хг раз и не наступило Ух раз, во второй группе из щ опытов оно наступило хг раз и не наступило уг раз, и т. д. Нужно проверить, одинаковы вероятности этого события во всех группах опытов или нет?
Еще более общим является следующий случай. Пусть ^объектов разбиты по какому-то признаку на А классов, и пусть хг, уи . . , — количества объектов в этих классах. Следующим щ
объектам аналогичным образом соответствуют количества ж», у%, . . ., гг и т. д. до хк, ук,. . . , zk. Таким образом, в результате наблюдений получается hk чисел, которые можно расположить в прямоугольную таблицу
xi Vi • • -zi "i
XZ Уч ... 2%
Хк Ук - • ¦ Zk
2х -ZV • • • I я
Справа указаны суммы по строкам, снизу — по столбцам и, наконец, в правом нижнем углу указана общая сумма N.
1Neyman J. and Pearson Е. S., On the use and interpretation of test criteria, Biometrika, 20 A, 175 и 263.
§ 56. Применения критерия Xх
279
Нужно проверить, могут ли вероятности р, q,. . . , г, соответствующие h классам, быть одинаковыми для всех строк? Наилучшими оценками для р, q,,. . , г являются общие частоты классов
У, х ~ У, у z
С помощью этих оценок вычисляют оценки для математических ожиданий
Ц{Р> > • • ¦ > пр
и вычитают их из наблюденных количеств xt, yt,. . ., г,.. Полученные разности снова располагают в прямоугольную таблицу
Xy — nj) Уу — щд . . . Zy — nj
хг — щр Уг — Щ?... z2 - п~г
В этой таблице суммы по строкам и суммы по столбцам обязаны быть равными нулю. Этим свойством пользуются для контроля вычислений.
Если квадраты всех hk разностей разделить на соответствующие оценки для математических ожиданий и результаты сложить, то получим
f = 2<*‘-J!d' + 2te-yr+... . (17)
nip niq
Число степеней свободы равно
/ = А? — ? — (А — 1) = (А — 1) (* — 1), (18)
так как наблюдались hk количеств, связанных к линейными уравнениями
xi + Vi + ¦ ¦ • + zt = пь
кроме того, h параметров р, q,, г оценивались по результатам наблюдений с помощью формул (16), и эти параметры удовлетворяют одному линейному уравнению
р +q + . . . + г=\.
Следовательно, все вероятности определяются h — 1 независимыми параметрами, поэтому в (18) из hk — к вычитается не h, a h — 1.
Е. РЕДКИЕ СОБЫТИЯ
Как уже ранее упоминалось, событие называют редким, если его вероятность р настолько мала, что во всех формулах q = 1 —р можно заменить единицей. Тогда биномиальное распределение
280 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев
перейдет в распределение Пуассона: вероятность того, что в п опытах данное событие осуществится х раз, будет равна1
W
= Ш1е-пР = ^е-,_ (19)
а;! х! ' ’
Правая часть (19) зависит лишь от произведения Я = пр, равного математическому ожиданию х, и не зависит от р и п в отдельности. Соответственно упрощается и формула для %2. Слагаемым с щ в знаменателе можно пренебречь, так как оно мало по сравнению со слагаемым, у которого в знаменателе пр. В этом случае формула (1) будет иметь вид
** = • <2»> Гипотезу о том, что Я принимает некоторое заданное значение, следует отвергнуть тогда, когда (20) превосходит границу для х2 с одной степенью свободы. Точно так же если имеются два независимых редких события, из которых первое наступило х раз, а второе — у раз, то гипотезу о том, что математические ожидания х и у равны соответственно Я и fi следует отвергнуть тогда, когда выражение
+ (21)
превосходит некоторую границу, найденную по таблице функции распределения %2 с двумя степенями свободы.
Ж. СРАВНЕНИЕ ДВУХ РЕДКИХ СОБЫТИЙ
Эта задача была уже подробно изложена ранее (§ 10 Б). Теперь мы хотим лишь кратко показать, что критерий, найденный в § 10, Можно непосредственно получить из общего критерия х2-
Пусть за время tг первое редкое событие наблюдалось xt раз и за время t2 другое редкое событие наблюдалось х2 раз, и пусть математические ожидания хх и х2 равны соответственно
Я1 = {\tly Я2 = $2^2-
Нужно проверить гипотезу, согласно которой = С2. Нели положим = д2 = А, то
Я2 = dt2. (22)
Для того чтобы можно было вычислить х2> нужно оценить А. Функция правдоподобия, в силу распределения Пуассона, имеет вид
{dt-f1 е~и' (i)t2f' ё~н‘ .
1 Это равенство является приближенным. Точный смысл формулы