Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Варден Б.Л. -> "Математическая статистика" -> 110

Математическая статистика - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Математическая статистика — М.: Ил, 1960. — 435 c.
Скачать (прямая ссылка): matematstatistika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 178 >> Следующая


Д. СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Пусть некоторое событие в первых опытах наступило хг раз и не наступило Ух раз, во второй группе из щ опытов оно наступило хг раз и не наступило уг раз, и т. д. Нужно проверить, одинаковы вероятности этого события во всех группах опытов или нет?

Еще более общим является следующий случай. Пусть ^объектов разбиты по какому-то признаку на А классов, и пусть хг, уи . . , — количества объектов в этих классах. Следующим щ

объектам аналогичным образом соответствуют количества ж», у%, . . ., гг и т. д. до хк, ук,. . . , zk. Таким образом, в результате наблюдений получается hk чисел, которые можно расположить в прямоугольную таблицу

xi Vi • • -zi "i

XZ Уч ... 2%

Хк Ук - • ¦ Zk

2х -ZV • • • I я

Справа указаны суммы по строкам, снизу — по столбцам и, наконец, в правом нижнем углу указана общая сумма N.

1Neyman J. and Pearson Е. S., On the use and interpretation of test criteria, Biometrika, 20 A, 175 и 263.
§ 56. Применения критерия Xх

279

Нужно проверить, могут ли вероятности р, q,. . . , г, соответствующие h классам, быть одинаковыми для всех строк? Наилучшими оценками для р, q,,. . , г являются общие частоты классов

У, х ~ У, у z

С помощью этих оценок вычисляют оценки для математических ожиданий

Ц{Р> > • • ¦ > пр

и вычитают их из наблюденных количеств xt, yt,. . ., г,.. Полученные разности снова располагают в прямоугольную таблицу

Xy — nj) Уу — щд . . . Zy — nj

хг — щр Уг — Щ?... z2 - п~г

В этой таблице суммы по строкам и суммы по столбцам обязаны быть равными нулю. Этим свойством пользуются для контроля вычислений.

Если квадраты всех hk разностей разделить на соответствующие оценки для математических ожиданий и результаты сложить, то получим

f = 2<*‘-J!d' + 2te-yr+... . (17)

nip niq

Число степеней свободы равно

/ = А? — ? — (А — 1) = (А — 1) (* — 1), (18)

так как наблюдались hk количеств, связанных к линейными уравнениями

xi + Vi + ¦ ¦ • + zt = пь

кроме того, h параметров р, q,, г оценивались по результатам наблюдений с помощью формул (16), и эти параметры удовлетворяют одному линейному уравнению

р +q + . . . + г=\.

Следовательно, все вероятности определяются h — 1 независимыми параметрами, поэтому в (18) из hk — к вычитается не h, a h — 1.

Е. РЕДКИЕ СОБЫТИЯ

Как уже ранее упоминалось, событие называют редким, если его вероятность р настолько мала, что во всех формулах q = 1 —р можно заменить единицей. Тогда биномиальное распределение
280 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев

перейдет в распределение Пуассона: вероятность того, что в п опытах данное событие осуществится х раз, будет равна1

W

= Ш1е-пР = ^е-,_ (19)

а;! х! ' ’

Правая часть (19) зависит лишь от произведения Я = пр, равного математическому ожиданию х, и не зависит от р и п в отдельности. Соответственно упрощается и формула для %2. Слагаемым с щ в знаменателе можно пренебречь, так как оно мало по сравнению со слагаемым, у которого в знаменателе пр. В этом случае формула (1) будет иметь вид

** = • <2»> Гипотезу о том, что Я принимает некоторое заданное значение, следует отвергнуть тогда, когда (20) превосходит границу для х2 с одной степенью свободы. Точно так же если имеются два независимых редких события, из которых первое наступило х раз, а второе — у раз, то гипотезу о том, что математические ожидания х и у равны соответственно Я и fi следует отвергнуть тогда, когда выражение

+ (21)

превосходит некоторую границу, найденную по таблице функции распределения %2 с двумя степенями свободы.

Ж. СРАВНЕНИЕ ДВУХ РЕДКИХ СОБЫТИЙ

Эта задача была уже подробно изложена ранее (§ 10 Б). Теперь мы хотим лишь кратко показать, что критерий, найденный в § 10, Можно непосредственно получить из общего критерия х2-

Пусть за время tг первое редкое событие наблюдалось xt раз и за время t2 другое редкое событие наблюдалось х2 раз, и пусть математические ожидания хх и х2 равны соответственно

Я1 = {\tly Я2 = $2^2-

Нужно проверить гипотезу, согласно которой = С2. Нели положим = д2 = А, то

Я2 = dt2. (22)

Для того чтобы можно было вычислить х2> нужно оценить А. Функция правдоподобия, в силу распределения Пуассона, имеет вид

{dt-f1 е~и' (i)t2f' ё~н‘ .

1 Это равенство является приближенным. Точный смысл формулы
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed