Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Варден Б.Л. -> "Математическая статистика" -> 119

Математическая статистика - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Математическая статистика — М.: Ил, 1960. — 435 c.
Скачать (прямая ссылка): matematstatistika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 178 >> Следующая

298 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев

Если Qx сложить с ранее полученной суммой

Яг = (и2 + • • • + ип) + (*’! + •••+ ®й) + («•'! + . . . + М'л), то найдем, что

Qi + Q* = 2 uf + 2 vf + 2 wl — NMi = = 2 *1 + 2 yf+ 2 % - AW* =

= 2(х-му + 2(у-му> + 2(г-Щ1. (13)

Правую часть (13) мы уже рашше обозначили буквой Q. Таким образом, разложение

Q = Qi + Qi> (14)

о котором говорилось выше, найдено.

Вторая составная часть Q2 определяет сценку (9) для дисперсии внутри классов. Первая составная часть

Qt = V2 + w'2 (15)

зависит лишь от разностей между выборочными средними значениями х, у и z внутри классов. Л именно

Qx = и\ + v\ + w\ — NM- =

= пх х- -J- п2 у2 + п3 z2 — NM2, (16)

где М — взвешенное среднее, составленное из х, у и z с весами

72^ П2 И 713.

м __ Tlj X + пг у + пг 3 /J7)

Поэтому вместо (16) можно записать

Qt = п1(х — М)2 + п2 {у — М)2 + п3 (z — М)2. (18)

В теории наименьших квадратов к такому же выражению (18) приходят тогда, когда х, у и z представляют собой неравноточные оценки для неизвестного параметра 9. Так как х, у и z вычисляются по пх, п2 и п3 наблюдениям соответственно, то их

нужно снабдить весами п1у п2 и т?3 и вычислить взвешенное среднее (17). Согласно теории наименьших квадратов, «выборочная дисперсия одного наблюдения на единицу веса» равна

„2 _ п^х — М)2 + п2(у — М)г + n3(z — М)2 _ Q! si - “ 3 — 1 “ г —1 '

Знаменатель равен числу классов, уменьшенному на единицу; следовательно, в случае г классов, в знаменателе должно стоять г — 1.
§ 58. Дисперсионный анализ

299

Если предположить, что все три класса x,ywz имеют не только равные дисперсии, но также и равные средние значения, то, согласно теории наименьших квадратов,

-f = F=I <19>

будет являться несмещенной оценкой для общей дисперсии сг2.

Независимо от теории наименьших квадратов мы снова покажем, что оценка (19) является несмещенной, т. е. покажем, что среднее значение Qx равно (г— 1) сг2 (в нашем случае это среднее значение равно 2сг2),

Пусть 5 — общее среднее значение для х, у и z. Введением новых переменных х — 0, у — ? и z — \3 можно добиться, чтобы общее среднее значение стало равным нулю. В этом случае средние значения xf, yf и zjj будут равны сг2, а средние значения всех остальных произведений xt xjt xt yj и т. д. будут равны нулю. Так как при ортогональном преобразовании указанные свойства средних значений для квадратов и произведений сохраняются, то средние значения uj, vf, и и'2, v’z, w'2 также равны сг2. Следовательно, среднее значение (15) равно 2сг2, что и требовалось доказать.

С помощью (7) и (8) точно так же можно показать, что среднее значение равно сг2. Этот результат, разумеется, остается справедливым и в том случае, когда математические ожидания х, у иг различны, так как замена переменных

х- = х{ — а, у) = yj — Ъ, 4 = zk — с

не оказывает влияния на а§.

Наиболее удобными формулами для вычисления и Q2 являются (18) и (7). Для контроля можно воспользоваться (13) или формулой

Qi + Qz = Q = 2(х-ау~ + - «)2 +

+ 2(z -a)2 — N (М -а)2, (20)

где а — произвольное число.

Если Qj и Q2 уже вычислены, то для получения оценок в? и

нужно лишь Q1 и Q2 разделить на соответствующее «число степе-

ней свободы»:

4 = ^, 4 = -^гг. (21)

Б. КРИТЕРИЙ F

Если величина sf меньше или лишь немногим больше величины s§, то нет оснований считать средние значения в классах различными. Однако если sf значительно превосходит Щ, то возникает
300 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев

подозрение, что эти истинные средние значения различны. Чтобы исследовать, насколько это подозрение является обоснованным, составим отношение

w в? (N — r)Q1 ~

f = 7f = (^i)«7 (22)

и применим критерий F.

Для того чтобы получить точную формулу для функции распределения отношения F, нужно, конечно, воспользоваться предположением, согласно которому все xt, yj и zk независимы и распределены одинаково нормально. В этом случае и', v', гю' и u2,v2,w2,...,un,vn,wn будут также независимыми нормально распределенными случайными величинами с одинаковой дисперсией сг'2, так как плотность вероятности

- [!>-*)¦ + Г(а—’)* + Г(2-г)*]

при ортогональном преобразовании переменных переходит в плотность вероятности того же вида:
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed