Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Как известно, метод наименьших квадратов в этом случае приводит к двум линейным относительно го—го0 и s — s0 уравнениям, решая которые можно определить го и s.
Этот способ вычислений достаточно сложен. Спрашивается, нет ли более простого приближения?
Крамер рекомендует вычислять го и s2 по группированным значениям z и затем для я2 использовать поправку Шеппарда. При этом все z из интервала ?,) нужно считать сконцентрированными в средней точке этого интервала (^_х + tt)/2. С помощью таких модифицированных значений г и нужно вычислять среднее го и квадратичное отклонение s. Для того чтобы можно было применить поправку Шеппарда, нужно, чтобы все интервалы имели одинаковую длину Л. Оценки го и s, найденные по этому методу, зависят лишь от xt. Вопрос о том, являются ли они асимптотически эффективными, насколько мне известно, еще не исследовался.
Если имеется очень много классов и середины соседних классов расположены очень близко друг от друга, то отличие разных оценок для среднего значения и квадратичного отклонения настолько мало, что не возникает вопроса о том, какие оценки принимать за основу.
При грубых расчетах, когда количество интервалов мало, в качестве оценок рекомендуется использовать го0 и s0 и применить критерий с г— 1 степенями свободы. Строго говоря, распределение хг с г— I степенями свободы имело бы место лишь в том случае, если бы выражение
2 = у (х‘ — пР‘)г №.А\
284 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев
было вычислено с помощью истинных значений pt = pt (/л, «г). Эти истинные значения нам не известны, однако нам известны наилучшие приближения то0 и «0 для /ли «г. Величина х2(то> so)> построенная с помощью этих приближений, будет, как правило, несколько меньше истинной величины %2, но не настолько, чтобы число степеней свободы можно было считать равным г — 3. Если при вычислении границы для %2 воспользоваться г— 1 степенями свободы, то это, во всяком случае, увеличит надежность критерия1.
Вопрос о наилучшем выборе количества классов г и граничных точек между классами t^,. . ., tr_x исследовался, в частности, Манном и Вальдсм2, которые хотя и не решили этот вопрос окончательно, однако дали ряд полезных указаний. Согласно этим исследованиям, при п = 200 или 400, или 1000, классы нужно выбрать таким образом, чтобы в каждый класс попадало примерно 12 (соответственно 20 или 30) наблюдений. Если воспользоваться этой рекомендацией, то размеры классов окажутся значительно меньше обычно употребляемых; соответственно возрастет и вычислительная работа.
И. ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ КРИВОЙ ЭФФЕКТА
Пусть имеется т групп подопытных животных, и пусть nlt щ,. . ,,пт — количества животных в этих группах. Если животные подвергались действию некоторого вещества, причем логарифмы доз в соответствующих группах были равны I], 12,. . ., 1Г, и если в результате опытов стали известны количества животных хг, хг,. . хт, реагировавших на эти дозы, то с помощью методов из § 54 можно попытаться подобрать такую нормальную кривую эффекта, которая в том или ином смысле соответствует
1 Рекомендации автора относительно критерия x2imeso) для проверки
нормальности при небольшом числе классовых промежутков слишком неопределенны. Как показали Чернов и Леманн (О h е г п о f f Н. and Lehmann Е. L., The use of maximum likelihood estimates in хг tests fur goodness ot' tit,Ann.Math. Stat., 25, № 3 (1954), 579—586), случайная величина Х2(ш0, sg) асимптотически распределена как сумма yl + !/г+ .... + + Уг—8 + ^-2 Уг-2 + Уг-1> гДе Vi — независимые и нормально распределенные
величины, 8(Уд = 0, D(yj) = 1 ; числаЯ1иЯа лежат между нулем и единицей и зависят от параметров проверяемого закона и принятого способа подразделения. Если для данного уровня значимости а мы зададим критическую границу, исходя из закона распределения с г — 3 степенями свободы (как это часто делается на практике), то такой выбор может привести к серьезному преуменьшению вероятности ошибок первого рода. Но и выбор г— 1 степеней свободы, который рекомендуется автором, может привести к заметной потере мощности критерия. — Прим. ред.
2 Очень хороший сводный отчет об этих исследованиях дал Кочрен (см. Cochran W. G., The хг test °f goodness of fit, Ann. Math. Stat., 23, 315).
§ 56. Применения критерия х2
285
наблюденным частотам h, = х^щ. Для того чтобы проверить согласие между этой кривой эффекта и результатами наблюдений, нужно вычислить соответствующие вероятности рх,. . .,рГ, а также их дополнения gt = 1 —р{ и образовать
_ Vfa — ntPiY I ^(yi — nW)2
* -2—+ 2,—тщ1 W
где у( = ni — Xj — количество животных из группы с номером а, которые не реагировали на дозу Z,. Так как снова
(Xj — тijPj) + (у, — щд,) = О,
то х2 можно записать короче:
= (36)
При этом постоянные Las, определяющие положение и наклон кривой эффекта, нужно вычислять с помощью асимптотически эффективных методов, например по методам пробит-анализа или по методу минимума х2 (§ 51). Графическая оценка прямой эффекта в этом случае не является достаточной, так как величина
