Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1 Вег k son J., Journal Amer. Statist. Assoc., 3‘J, 41, 48.
2 Dixon W. J. and Mood A. М., Journal Amer. Statist. Assoc., 43 (1948), 109.
268
Гл. X. Обработка результатов биологических испытаний
увеличивается на d и новая доза применяется ко второму животному и т. д. — всегда вверх или вниз. Никакие другие дозы, кроме доз с логарифмами I, I + d, I ^ 2d,. .., не применяются.
При таком методе большая часть экспериментов автоматически проводится с теми дозами, которым соответствует наиболее крутая часть кривой эффекта, так как если смертность близка к единице, то доза, с большой вероятностью, будет уменьшена, и точно так же если смертность близка к нулю, то доза будет увеличена. Это очень выгодно, так как приходится иметь дело как раз с той частью кривой эффекта, которая находится вблизи точки с ординатой р — У2 (50%-ная смертность). Чтобы метод действовал хорошо, разность d должна, по возможности, быть выбрана из интервала от сг/2 до 2сг. Таким образом, грубая оценка для сг должна быть известна заранее.
Для оценки неизвестных параметров можно бы было применить метод площадей. Однако Диксон и Муд воспользовались другим, чрезвычайно, простым методом. Согласно этому методу, сначала надо подсчитать общее число «успехов» (т. е. число случаев, в которых животные реагировали положительно) и общее число «неудач». Пусть N — наименьшее из этих двух чисел и пу?ть соответствующее и}енее частсе событие (успех или неудача) происходило при экспериментах с дозами 10,1^,1^,. . ., причем для указанных доз это событие наступало п0, п1г п2,, , . раз. Образуем суммы
A = ^hnk,
В = 2Ъгпк.
Тогда для L — логарифма 50%-ной дозы — можно указать следующую оценку:
лг = г0-м(?±~). (1)
Знак + употребляется в том случае, когда успехов наблюдается больше, чем неудач, а знак —, когда успехов наблюдается меньше, чем неудач. В качестве оценки для о- используют выражение
д= 1,62(-V7i--4-! 0,031 . (2)
Обоснование этих формул методом наибольшего правдоподобия можно найти в оригинальной работе. Броунли, Ходжес и Розен блатт (см. Brownlee, Hodges and Rosenblatt, J. Amer. Statist. Assoc.,48,262) показали, что формулы (1) и (2) очень полезны даже при малом количестве опытов. Кроме того, эти авторы предложили вместо (1) и (2) несколько модификаций, предназначенных для того, чтобы сделать метод еще более эффективным.
При обосновании формул (1) и (2) кривая эффекта предполагалась нормальной, однако это предположение не очень суще-
§ 55. Методы «вверх и вниз»
269
ственно. Достаточно, чтобы часть кривой вблизи средней смертельной дозы приближенно представлялась некоторой нормальной кривой. Поведение ветвей кривой эффекта вблизи прямых р = 0 и р = 1 не имеет большого значения, так как метод устроен таким образом,что очень большие и очень малые дозы применяются чрезвычайно редко, и поэтому они не оказывают почти никакого влияния на среднее значение и дисперсию оценки М.
Недостатком метода является то обстоятельство, что последующий опыт можно проводить лишь тогда, когда установлен результат предыдущего опыта (успех или неудача). Этот недостаток можно частично уменьшить, поставив одновременно, например, четыре ряда опытов.
Б. МЕТОД СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ
Согласно результатам Роббинса и Монро1, метод «вверх и вниз» можно еще более улучшить, если дозы увеличивать или уменьшать не на постоянную величину d, а на некоторую переменную величину, стремящуюся к нулю при п-»оо. Предварительно выбирают убывающую последовательность положительных чисел alt а2,. . . и задают начальную дозу 1г. Если на дозу 1„ очередное животное реагирует, то в качестве следующей дозы выбирают
^п+1 = К 2 ап ’ (3)
но если животное на дозу 1„ не реагирует, то полагают
i„+l = К + 2"ал • ^
Можно также, при желании, проводить опыты одновременно
с несколькими животными. Если hn — частота успехов в n-м опыте, то в следующем опыте дозу выбирают равной
^л+1 = К + (2" — Лп' ^
В качестве оценки для 50%-ной дозы принимают последнюю вычисленную дозу lN+1, где N — число опытов. При некоторых ограничивающих предположениях Роббинс и Монро доказали, что при iV->00 оценка lN+1 сходится, по вероятности, к 50%-ной дозе, т. е. что для достаточно больших N с вероятностью, сколь угодно
близкой к единице, имеет место неравенство
I In+1 — L\ < е.
1 Robbins Н. and Mo пто S., A stochastic approximation method, Ann. Math. Stat., 22 (1951), 400.
270
Гл. X. Обработка результатов биологических испытаний
