Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
X1 может получиться чрезмерно большой.
Число степеней свободы равно
f = 2г — г — 2 = г — 2,
так как наблюдается 2г количеств хи . . хг и ух, . . ., уг> связанных г линейными уравнениями
Xj + у, = Tlj,
и два параметра L и s оцениваются по результатам наблюдении.
Если для одного и того же действующего вещества имеется несколько эмпирических кривых эффекта, то для каждой такой кривой можно вычислить X2 и результаты сложить. Сумма х\ (с А степенями свободы) и xl (с А степенями свободы), в силу § 23, подчиняется распределению х~ с А + А степенями свободы.
Чем больше количество слагаемых, из которых складывается общая величина х2> тем надежнее можно полагаться на асимптотическое распределение х1', эт0 следует из центральной предельной теоремы (§ 24 Г).
Если найденные х~> а также их сумма не превышают границ, за которыми нормальность заведомо отвергается, то тем не менее к гипотезе нормальности нужно относиться скептически. Только тогда, когда на обширном экспериментальном материале удастся установить, что величины х2 все время колеблются около своих средних значений / (/ — число степеней свободы) и, следовательно, сумма всех х2 близка к сумме всех А только тогда к гипотезе нормальности кривой эффекта можно относиться с несколько большим доверием.
286 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев
К. НАСКОЛЬКО ВЕЛИКИ ДОЛЖНЫ БЫТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ ЧТОБЫ БЫЛО ПРИМЕНИМО РАСПРЕДЕЛЕНИЕ X*?
В литературе можно часто встретить замечания такого рода: применение распределения х2 допустимо лишь тогда, когда математические ожидания пр по величине не менее 5 или 10. По-видимому, эти замечания диктуются лишь взглядами их авторов. Кочрен, а вместе с ним все те, кто исследовал этот вопрос точнее, пришли к более оптимистическому заключению1.
Символом X2 Кочрен обозначает ту дискретную случайную величину, которая применяется в критерии %2:
— 'S'jB — пРУ пр
Непрерывную случайную величину, подчиняющуюся распределению х2 с тем же числом степеней свободы /, что и X2, он обозначает х2 и> точно так же как мы это делали в § 56 Б, сравнивает распределения X2 и х2- При этом особое внимание уделяется сравнению указанных распределений в той области изменения и, где вероятность Р события Х2> и заключена между 0,01 и 0,05. Согласие оказывается достаточно хорошим, особенно если число степеней свободы не слишком мало. Если оно больше 6, то одно из математических ожиданий пр может снижаться даже до 1/2 и при этом согласие будет вполне удовлетворительным. При 60 степенях свободы или более и при малых математических ожиданиях точное значение вероятности Р оказывается существенно меньше приближенного значения, вычисленного с помощью распределения X2, так как дисперсия х2 больше дисперсии X2. Таким образом, применение распределения х2 лишь увеличивает надежность критерия. Если вместо распределения х2 воспользоваться нормальным распределением с точной дисперсией, вычисленной Холдейном2, то приближение станет еще более лучшим.
Как показывает пример в § 56 Б, при двух степенях свободы математическое ожидание может снижаться до 2 единиц.
Только при одной степени свободы нужно соблюдать осторожность и при этом либо требовать, чтобы математические ожидания не были меньше 4, либо, что еще лучше, умножить X2 на (N— 1)/^, где N — общее число наблюдений (см. § 9).
л. ПРИМЕРЫ критерия х¦
Пример 37. Тройные гибриды примулы (т. е. гибриды по трем наследственным признакам) скрещивались с представителями чистой линии,
1 Cochran W. G., The хг test, Arm. Math. Stat., 23, 328.
2 Haldane J. B. S., Biometrika, 29, 133 и 31, 346.
§ 56. Применения критерия хг
287
у которых все три признака были рецессивными1. В качестве наследственных признаков рассматривались:
Ch — oh: Китайская примула — звездная примула G — g: Зеленый пестик — красный пестик
W — w: Белый венчик — желтый венчик
В 12 семействах2 потомства были получены следующие распределения восьми возможных типов:
Тип Номер семейства Сумма
107 по 119 121 122 129 131 132 133 135 178
ChGW 12 17 9 10 24 9 3 16 20 9 11 10 150
ChGw 20 16 10 7 23 3 6 24 18 2 13 12 154
ChgW 14 10 6 8 19 5 5 23 18 10 7 12 137
Chgw 13 13 9 8 9 6 3 12 18 1 9 12 113
ohGW 5 5 16 2 30 3 8 21 19 4 9 12 134
chGw 12 6 14 3 16 5 7 13 14 4 13 10 117
chgW 7 3 18 2 11 5 4 14 23 4 6 13 110
chgw 10 8 10 4 23 5 4 22 23 7 8 16 140
Сумма 93 78 92 44 155 41 40 145 153 41 76 97 1055
X2 = 12,6 19,2, 10,1 12,4 18,1 4,9 4,8 9,2 3,2 14,2 5,0 2,0 115,7
Если три наследственных признака не являются сцепленными и если факторы летальности и неуживчивости не играют никакой роли, то для каждого типа следует ожидать частоту, близкую к 1/е. Общая сумма квадратов отклонений от математических ожиданий для всех семейств равна Хг — 115,7. В каждом семействе имеется семь степеней свободы, всего, следовательно, 84. 5%-ная граница в случае 84 степеней свободы равна 106,4, следовательно, х2 превосходит эту границу. Кроме того, в трех семействах соответствующие величины х2 превосходят 5%-ную границу для семи степеней свободы, равную 14,1. Семейство № 110 превосходит даже 1%-ную границу 18,5. Таким образом, наблюденные частоты значительно отклоняются от закона Менделя.
