Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Все наблюдения......... | Q = 1541 | N — 1 =2ч\ s2 = 57
Выборочная дисперсия ннутри классов здесь больше выборочной дисперсии между классами, и уже поэтому различие выборочных средних
1 Для того, чтобы это утверждение было верно, нужно, чтобы выбо-
рочные средние х, у, z были распределены приближенно нормально, а для этого в свою очередь достаточно, чтобы у одинаково распределенных результатов наблюдений существовала дисперсия. — Прим. перев
§ 58. Дисперсионный анализ
303
незначимо: вычислять F = 32/60 совсем не нужно. Все 28 пластинок можно рассматривать как выборку из однородной совокупности. Общее выборочное среднее равно 63,5, а нанлучшая оценка для дисперсии
Если бы отдельные результаты наблюдений подчинялись распределению Пуассона с математическим ожиданием 63,5, то истинная дисперсия равнялась бы сг2 = 63,5 (§ 10 А). Для того чтобы проверить, насколько это предположение согласуется с результатами наблюдений, вычислим отношен ие
27s2 1541
X2 = ----= ------= 24,3.
сг2 63,5
Если бы результаты наблюдений были распределены нормально, то случайная величина %2 подчинялась бы распределению /2 с 27 степенями свободы. Распределение Пуассона с большим математическим ожиданием 63,5 совсем незначительно отклоняется от соответствующего нормального распределения. Следовательно, в силу формул (9) и (10) из § 23, нужно ожидать, что /2 будет иметь среднее значение 27 и квадратичное отклонение /54 - 7,4:
/2 = 27 ± 7,4.
Таким образом, отклонение найденного значения 24,3 от математического ожидания 27 следует признать случайным, и поэтому правдоподобное предположение о том, что результаты наблюдений подчиняются распределению Пуассона, экспериментом не опровергается. Наилучшая оценка для среднего значения распределения Пуассона в данном случае принимает значение Ъ = 63,5. Дисперсия распределения Пуассона равна среднему значению.
Г. СВЯЗЬ С КРИТЕРИЕМ t
Если имеется лишь дса ряда наблюдений, то ef = Qx = пг (х — МУ + п2 (у — МУ- =
= п —г^-~^-Пг УГ4- та \v — "1* +*1У|2-1 L ЭТ1 -г пг J 2 Пу + пг I
= (х — у)*
Пх+п2
„2 _ *2 —
— _^2_ = 2 (х — х)2 + 2 (У — У)2
N 2 Пу + т?2 — 2
следовательно,
304 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев
Правая часть (27) представляет собой квадрат статистики t, используемой в критерии Стьюдента. Это означает, что при двух классах критерий F совпадает с двусторонним критерием t.
Следовательно, если щ и п2 не слишком малы (например, оба 4), то двусторонний критерий t можно применять даже в том случае, когда хну имеют распределение, отличное от нормального.
Д. КОРРЕЛЯЦИЯ ВНУТРИ КЛАССОВ
Если каждый класс содержит лишь два наблюдения, то возникает ряд, состоящий из г пар (х, х'). Для вычисления Qx и Q2 образуем из каждой пары среднее и разность
— х + х' , ,
х = —Ij— и d = х — х .
Если М — общее среднее всех х, то, согласно (18),
Qi = 2 ? (* - Mf (28)
и, согласно (7),
= (29)
Для контроля служит формула
Qi J- Q* = Q = IK* - му -j- (x' — му]. (30)
Далее, согласно (21),
*! = r-=-i. = 7 (3D
и, наконец, как всегда,
п2 _ Q ______ft + /оо\
S ~N-Т- 2^1 ¦ ^
Выборочный коэффициент корреляции внутри классов определяется формулой
j.*______^ 2 (з- М) (х М) (33)
~ 2 [(* — му- + (*' — м)а]
Выражение (33) устроено аналогично выборочному коэффициенту корреляции1 (§ 66 Б). После небольших вычислений находим, что
«зч
1 Выборочный коэффициент корреляции целесообразно вычислять но формуле (33) в том случае, когда неизвестные дисперсии величин х и х равны друг другу. — Прим. перев.
§ 58. Дисперсионный анализ
306
Если выборочная дисперсия внутри классов равна нулю, то коэффициент г* равен +1- Если же выборочная дисперсия между классами равна нулю, то г* = —1, однако практически этого никогда не наблюдается. Если обе выборочные дисперсии приближенно равны друг другу, то величина г* близка к нулю.
Пример 41. Хедорн, Бертани и Галлера1 разрезали на две симметричные части имагимальные диски, из которых развиваются мужские половые железы мухи-дрозофилы (Drosophila melanogoster), и полученные половинки пересаживали представителю того же вида. В результате из обеих частей возникали семенники приблизительно нормальных размеров. Однако от случая к случаю их размеры колебались в очень широких пределах. Нужно проверить, не вызывались ли эти колебания тем, что величины обеих пересаженных половин зачастую были неравными? Если это так, то нужно ожидать, что наряду с особенно большими семенниками столь же часто должны встречаться и крайне малые, т. е. дисперсия внутри пар должна быть больше дисперсии между нарами. Однако вычисления показывают, что, напротив, дисперсия внутри пар меньше, чем между парами. В таблице на стр. 306 указаны длины половых клеток х, х', причем наибольшая из обеих длин всегда предшествует наименьшей.
