Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотренного полностью в § 359, приходится наложить на га заданных масс
rrii по крайней мере одно условие f(m,i, ..., гаг") =0. Но, кроме того,
по-видимому, существует лишь конечное число значений га, для которых
можно подобрать по крайней мере одну совокупность raij, . .., тп,
обладающую хотя бы одной пространственной центральной конфигурацией.
Такая же догадка не может быть правильной в неколлинеарном плоском
случае, так как га равных масс гаг,, помещенных в углах правильного га-
угольника, образуют, очевидно, центральную конфигурацию при любом га.
Можно также поместить га - 1 равные массы в углах правильного (га - 1)-
угольника и еще одну произвольную массу в центре.
Кроме того, можно объединить, налагая очевидные ограничения, любую из
указанных плоских моделей с полярной моделью. Очевидно, существуют также
соответствующие модели в пространственном случае правильных
многогранников, однако тогда такие конфигурации возможны лишь для
конечной последовательности отдельных значений га.
§ 361. Мы применим теперь понятие центральной конфигурации к анализу
изменения конфигурации, образуемой произвольными
(pi2 - рзг) (pi3
3 3 3 S
Рза) (pi4- P24)=(Pl2'
Р24) (pi3 - рзг) (pi4
§8 335-368. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
341
телами в заданный момент t, если рассматриваемое движение таково, что при
t -*¦ ?° происходит одновременное столкновение всех п тел (см. § 335).
Будет показано, что при значениях t, очень близких к ?°, конфигурация п
тел очень близка к центральной, причем при этом рассматриваются лишь
относительные величины п относительные положения стремящихся к нулю
векторов ?< - этих тел (см. в конце § 355). Это асимптотическое описание
возможного одновременного столкновения является, пожалуй, самым глубоким
среди известных результатов в задаче п тел.
При доказательстве потребуется тауберово уточнение (18т) § 337 формулы
(16г) § 335а, а также более простой тауберов результат. Последний можот
быть сформулирован следующим образом.
§ 362. Обозначим точками операции дифференцирования по независимой
переменной и во всем интервале 0 < и < оо, п пусть g (и) - функция, для
которой существует непрерывная производная g(u) и конечный предел ?(<*>).
Тогда, хотя g(u) асимптотически близка при "->•<" к константе g(oo),
очевидные примеры показывают, что дифференцирование такого
асимптотического соотношения, вообще, недопустимо, т. е. что g(u) не
обязательно стремится при и-*- оо к нулю. Однако если существует
непрерывная производная g(u), то ограниченность этой производной является
тауберовым условием в смысле, указанном в § 336. Другими словами, если
g(u) стремится к конечному пределу, а |?(и)| < const при оо, то g(y) 0
*).
§ 363. Можно предположить без потери общности, что одновременное
столкновение всех п тел происходит при ?° = 0, причем t стремится к ?° =
0 убывая. Тогда t - ?° > 0. Легко проверить, что асимптотические
соотношения (17*), (172), (18г) § 336-337
*) При доказательстве этой тауберовой леммы можно, очевидно,
предполагать, что f - скаляр. Тогда но может существовать пары достаточно
малых положительных чисел ц, 6 таких, что неравенство | g(u) | < г)
справедливо в каждой точке бесконечного числа u-пнтервалов, имеющих общую
длину б и точку сгущения при и - оо. В ином случае функция g(u)
изменялась бы в каждом из этих интервалов не меньше, чем на т)-б, и,
таким образом, не могла бы стремиться к конечному пределу при и -*¦ оо.
Следовательно, при любом е > 0 существует такое N - N* что любой и-
интервал Длины е в области N, ^ в < оо содержит по крайней меро одну
точку, в которой |у(и)| < е. Так как. по предположению, |у(и)| < const,
то g(u) не может изменяться в интервале длины е болое чем на е-const.
Следовательно, (а)| < е + е<> const, если только и >• .V,, откуда п
вытекает, что f(u) -*¦() при ц-*- оо.
342 ГЛАВА У. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
могут быть переписаны в виде
t~hJ -> ц0 > 0, (14i)
*(*-*/./)'-О, (14,)
(14,)
где
Цо
/ 3 уД*/3
и i-v +0- Так как J - то, как следует из (14i), все п тел
сталкиваются при i-v +0 в начале барицентрической системы
координат I, так что линейные размеры конфигурации, образо-
ванной п телами при малых t, пропорциональны f1*. Поэтому целесообразно
увеличить единицу длины пропорционально t~"т. е. рассмотреть вместо р,А -
| li - lh \
?/=2'"'-
pjft
величины
Ii = ?_7аli, pik = t-'/3pih, (15i)
J = t-'b], U = fi'U (152)
соответственно. Тогда точный математический смысл утверждения,
приведенного в § 361, заключается в том, что хотя (1) не имеет места при
фиксированном t 0, но
(JU*)6+0, i= 1 п, (16)
при t -> +0.
Действительно, из последнего замечания в § 355 вытекает, что изменение
масштаба времени за счет подстановки (15i) - (15г) не играет роли при
рассмотрении данной проблемы.
§ 364, Во-первых, покажем, что при t +0
gj-U + 0, (ПО
Pift > const > 0. (17а)
С этой целью заменим t на t = -lg t, так что t-v+oo при
1-"-0 и
? = ехр(-t), (18,)
tf'=-h ?2/"-/ + /, (is,)
