Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
условия (г), (гг), (Hi) для шести векторов |г(?) удовлетворяются при t =
t°, то они будут удовлетворяться и при любом t. Таким образом, каждое из
рассмотренных трех видов симметричных решений фактически существует.
Однако мы ставили перед собой цель доказать, что в предположении (19i)
эти очевидные типы равнобедренных решений исчерпывают все множество
равнобедренных решений (см. также замечание в конце § 344). Как будет
показано в § 374а, этот факт совсем не очевиден.
§ 347а. Заметим, что общие уравнения (152) с 3(га - 1) = 3-2= = 6
степенями свободы в любом из трех равнобедренных случаев сводятся к
уравнениям консервативной динамической системы с 2 степенями свободы.
Правда, для этих уравнений известен лишь один интеграл энергии, так что
ни в одном из трех случаев (?), (гг), (ггг) нельзя довести интегрирование
до конца.
На этом заканчиваем анализ той частной задачи, которая была поставлена в
§ 344. Ниже мы рассмотрим другое применение общих гелиоцентрических
лагранжевых уравнений (12).
fig 348-354. ПАРНЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
325
ПАРНЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
§ 348. Пусть данное решение задачи п тел таково, что в каждый момент
некоторого i-интервала (конечного или бесконечного) расстояния от каких-
либо двух тел, например, m-i и тп до остальных п - 2 тел m2,.. ., mn-i
превосходят некоторую фиксированную положительную величину, т. е. что
Тогда естественно поставить вопрос об оценке отклонения фактического
движения тгц. и тп в течение рассматриваемого промежутка времени от того
движения т\ и тп, которое имело бы место в случае отсутствия тел m2, ...,
тп-1. Другими словами, речь идет об оценке ошибки, которая допускается,
если движение т\ и тп рассматривается как движение в задаче двух тел,
описываемое уравнениями вида (13) - (14z) § 343.
Такие оценки легко можно получить, заметив, что система (12) сводится при
i = 1 к уравнению
причем постоянная в правой части (26z) зависит только от постоянных в
неравенствах (24) и от заданных значений масс т\.
Действительно, заметим прежде всего, что для произвольных 3-векторов а, Ъ
справедливо тождество
Поэтому, полагая а = ;rj, b = xi и учитывая равенство
I Xi - xh | > const > О,
| xh j > const >0, к = 2,..., n - 1.
(24)
(25i)
где
71-1
Можно показать, что из (25i), (25z) вытекают оценки
( Xl V < \Xi Х Х'11
V |?l| J Х%
(260
1 (Xj X Xi)'\
<i const,
(26,)
\а\гЪ - (a-b)a =(a X Ь) X a.
32в ГЛАВА У. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Xi'Xi = |xi| ¦ |?i|7, получим, ЧТО
1^1 {\xi\xi' - \xi\'Xi\} = (Xi x Xi') x Xi.
Так как ii^Oh |c X d| ^ |c| |d|, to
| {\Xi\Xi' - \xi\'xi) \s^\Xi XXi'\,
откуда и вытекает неравенство (26i).
Учитывая далее тождества
xtX х" ==(xiX х{)', xtXXi = 0, умножим обе части (25i) векторно на xt и
получим, что
п-1
(i'i X Xi) = 2 ^Ta(Pa &h)Xk X Xi,
Ai=2
где
ah = \xk - a* I-1, pft= | | -1.
Следовательно, если использовать (24) и тождество
рЗ_аЗ = (р_а)(с[2 + (1р + р2))
то придем к неравенству
п-1
] (Xi X Xi)'\ ^ const S| |\xi X xk\.
A=2
Так как
]xi X |zi| ,
а в силу (24)
I |jcfc| - |jcfc - JCtl I
I^a - ?i|-1- I I -* I
\xh - Xi\ ]zA|
l^il | artl
1 1 < const- 1 1
\xh - Xi\ |*A| (в*)'
то мы приходим к (262).
В дальнейшем нам будут полезны следующие формулы, полу-
j
чающиеся при скалярном умножении (25i) на-т^ х± и xi соответственно:
S'=~f'x i, (27i)
2
z . тп -|- rrii
= /¦* i, (27,)
§§ 348-354. ПАРНЫЕ! СТОЛКНОВЕНИЯ
327
где
1 /г Иц -(- Ti%i
поскольку
'
= Xi -Xi ,
§ 349. Будем говорить, что данное решение задачи га тел соответствует
парному столкновению в момент t = ta{=^= оо), если, с одной стороны,
взаимное расстояние между двумя телами, например, mi и Шп стремится при t
-*¦ t° к нулю, а, с другой стороны, любое из остальных */2 га (га- 1)
взаимных расстояний превосходит при значениях t, достаточно близких к ?°,
некоторый фиксированный положительный предел. Очевидно, влияние тел
тг,..., /гап-1 на 1Л-1, тгап при таких t играет ничтожную роль по
сравнению с взаимным влиянием mi и тп друг на друга. Следовательно, можно
ожидать, что вблизи момента столкновения t = t° поведение вектора xi(t) =
(t) - ?n(f), определяющего положение mi относи-
тельно тп (см. (1) § 340), примерно такое же, как и в случае столкновения
в задаче двух тел (см. §§ 268-343). Однако в аа-даче двух тел
столкновение возможно лишь при прямолинейном движении. Кроме того, как
следует из интеграла энергии, относительная скорость становится при
столкновении в задаче двух тел бесконечной. Наконец, из формул (5), (104)
- (Ю2), примененных к случаю столкновения в задаче двух тел, вытекает
соотношение между взаимным расстоянием и его второй производной. Эти
факты имеют место и в пределе, когда t стремится к моменту t° парного
столкновения mi и тп. К такому выводу придем после доказательства того,
что при любых п - 2 массах тг,..., mn-i, не участвующих в столкновении
если t -к t°, Xi = -у 0.
Хотя траектории mi и тп не являются вообще плоскими кривыми, однако (28j)
показывает, что в близкой окрестности t° эти траектории практически
