Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 122

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 202 >> Следующая

прямолинейные,
xi X х?-> 0,
(28i)
(28э)
328
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
§ 349а. Переходя к доказательству (28j) - (283), заметим прежде всего,
что 1/1 < const в силу (25г) и (24). Следовательно, умножая (272) на
|:ci] и полагая \х\\ -> 0, получим, что
/ 1 \" "
Ui] - \xi\x\ -f тп -f nii->0
откуда вытекает эквивалентность (282) и (283). Вместе с тем из (283)
вытекает (28i). Действительно, если |xi|->-0, то из (283) видно, что | xi
| -*¦ -j- оо и |^| ¦ | Х\ | ->- 0, так что (28Д следует из неравенства
|xi X х[ | ^ |лч| |х/|.
Таким образом, достаточно доказать лишь (283).
Мы предполагали (см. § 348), что хотя |?i - | = \xi | -*¦ О,
но ни одно из остальных-^ п(п-1) взаимных расстояний
I I = Pjh ие становится произвольно близким к нулю при
Поскольку силовая функция U является линейной комби-1
нацией всех -у п (п - 1) обратных взаимных расстояний, то из интеграла
энергии Т - U = h вытекает, что в достаточно близкой окрестности момента
?° кинетическая энергия Т меньше, чем const / |xi|. Однако формулы,
приведенные в § 341, показывают, что Т - положительно определенная
квадратичная форма компонентов скоростей х^, .. ., x'n-i-
Поэтому очевидно, что |х/| мажорируется произведением const 7"/j.
Следовательно,
, , const
11,1 <W
Вместе с тем, разлагая функцию (252) по степеням |xi| и компонентам 3-
вектора х\, придем на основании (24) и предположения х^ -*¦ 0 к тому, что
|/| < const- |xi| и |/| \х\\ < const- ?i|Vj в достаточно малой
окрестности ?°. Так как |/-xi'|^ /| \xi\ и [хД ->-0, то f-Xi'->- 0 при
Следовательно, (27Д показывает,
что производная функция g = g(t) стремится при ?->-?° к нулю. Это
возможно лишь тогда (см. последнее замечание в § 351), когда g(t)
стремится при ?->-?° к конечному пределу. Так как Xj =Х{ (?)->&, то
|xi]g->-0, откуда с учетом определения (27*) функции g(t) мы и придем к
(283).
§ 350. Расстояние pin между двумя телами тп\, тпп, участвующими в
столкновении при t = t°, равно ||i - |n| = |?п| в силу (1).
Следовательно, соотношение (282), доказанное в § 349а, можно
§§ 348-354. ПАРНЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
329
записать в виде
Нш pin (pin) - 2 (mn 4~ ^i) ¦
Очевидно, эта формула для парного столкновения переходит в формулу (18i)
§ 337 для одновременного столкновения всех
= 2/rat-?i2 и 2(т,1-\-тц) на положительную постоянную ро- Как было
показано, из (18i) § 337 вытекают асимптотические соотношения (182) и
(17i) - (172) §§ 336-337. Следовательно, эти соотношения остаются
справедливыми, если заменить 7 на р21п и ро на 2 (mi-{- m"), Расстояние
же pin = Pin (4) изменяется в случае парного столкновения при 4 - 4° так,
что
при 4 -"- 4°. Кроме того, эта формула остается справедливой после
двукратного дифференцирования по 4. Так как pm = |xi|, то из (29) и (283)
видно, что относительная скорость | я/1 = 11/ - ?"'| сталкивающихся тел
стремится при 4->-4° к бесконечности, имея порядок (4 -
§ 351. Соотношение (28i), где ац = ?i - свидетельствует лишь о том, что
траектории.сталкивающихся тел становятся параллельными друг к другу при 4
-v 4°. Однако из (28i) не вытекает, что эти траектории касаются друг
друга при 4 =• 4°. Действительно, столкновение mi и тп определяется
условием | ?i - | -v 0. Это
условие само по себе может допускать, что mi и т" движутся перед
столкновением по спирали, не имеющей асимптоты, и при этом касательные к
двум траекториям g = 1Д0, ? = Sn(0 не стремятся к предельным положениям
при 4 -v 4°. Однако эту возможность мы исключим, показав, что парное
столкновение mi и тп происходит под определенными углами. Точнее говоря,
единичный вектор
стремится к предельному положению и при этом направление этого вектора
изменяется при 4, достаточно близких к 4°, так медленно, что производная
(xi / |xi|)' стремится при 4->-4° к нулю.
Действительно, интегрируя производную вектора xi X я/ н пределах от 4 до
4*, фиксируя затем значение 4, близкое к 4°, и полагая 4* -v 4°, увидим,
что согласно (28i)
тел, если заменить ры (4) == pij; == (|i - |")z на J(t)=J =
Г 9
Р1" ~ П
(mi + mn) (4 - 4°)J/j
(29)
- In
I - 5n |
330
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕП
и, следовательно, в силу (262)
t
|xi(f) X xi (t) [ < const j ^xi(t)dt .

Однако из (28г) вытекает, что xi2 в достаточно близкой окрестности f°
убывает (рассуждения те же, что и в § 335 для 7). Следовательно,
последний интеграл мажорируется произведением Xi2(t) |f - f°|, так что
значение отношения |xi X x/l I хi2 в момент t меньше, чем const 11 - f°|.
Полагая f-j-f0 и используя (26i), увидим, что (xt / | ari |)' -*- 0.
Наконец, существование предела lim (xt / | Xi |) при вытекает из
следующего замечания, при-
мененного к функции f = х 1 / | Xi | (справедливость которого становится
очевидной, если проинтегрировать f).
Если производная f(t) функции/^) остается при f-*-f°(=/=оо) ограниченной,
то /(f) стремится при t-*~ f° к конечному пределу.
§ 352. Та часть определения (см. § 349) парного столкновения, которая
относится к сталкивающимся телам тi, m2 требует лишь выполнения при t f°
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed