Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
2Р13 1 . inx . inx1 .
Ответ: у = -j-=rr > Т sln-г~ sln-;- cosщг, t = 1, 2, 3, . . .,
оо.
э я4?7 I4 I I
i
5.10.4. К свободно опертому стержню приложена равномерно распределенная
нагрузка с интенсивностью w. Определить поперечные динамические
перемещения стержня при колебаниях, возникающих при внезапном снятии
нагрузки:
4ш/4 VI 1 . № . , " _
Ответ: и= -z-p-.- > -гг- sin-г- cos pit, i = 1, 3, 5,
. . ., оо.
п 1:1 ,4J *
t
5.10.5. Определить поперечные динамические перемещения свободно опертого
стержня, для которого задано, что в момент времени t = 0 все точки
стержня, за исключением концевых точек, внезапно приобретают скорость v.
Ответ: и = -J--sin sin pit, i = 1, 3, 5, . . ., со.
я Zj (ft 1
i
5.11. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ КОНЦЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
Стержни с незакрепленными концами. В этом случае имеем следующие концевые
условия:
(-&)"-* (-?)"-*
Для того чтобы удовлетворить первым двум из указанных условий, в общем
выражении (5.99) для решения надо положить С2 = С4 = 0, тогда получим
X = Ci (cos kx -f ch kx) -f C3 (sin kx + sh kx). (5.106)
Из третьего и четвертого условий следует
Сх (-cos kl + ch kl) + C3 (-sin kl + sh kl) = 0; (6)
Ci (sin kl + sh kl) + C3 (-cos kl + ch kl) = 0. (в)
Отличные от нуля решения для постоянных Сх и С3 можно получить в том
случае, когда равен нулю определитель матрицы, составленный из
коэффициентов уравнений (б) и (в). Из этого условия получаем частотное
уравнение
(-cos kl + ch kl)2 - (sh2 kl - sin2 kl) = 0, (r)
откуда, учитывая соотношения ch2&/ - sh2&/= 1, cos2&/ +
+ sin2 kl = 1, для уравнения (г) получаем следующую форму:
cos kl ch kl = 1. (5.107)
Несколько наименьших корней этого уравнения, расположенных в порядке
возрастания номеров, приведены ниже, где первое значе-
380
ние принадлежит двум равным корням, относящимся к двум формам движения
как абсолютно жесткого тела:
Ненулевые значения корней можно приближенно определить по формуле ktl ж
(1/2 + i)/n. Для рассматриваемого стержня частоты его колебаний можно
определить, используя формулу /г = pJ2n = = k\a!2зт, откуда находим
Подставляя корни уравнения (5.107) в порядке возрастания их номеров в
уравнения (б) и (в), определим отношение Сг/С3 для каждой формы
колебаний. Тогда из выражения (5.106) можно найти форму прогибов стержня
при колебаниях. Первые три формы колебаний, соответствующие частотам /ъ
/2 и /3, показаны соответственно на рис. 5.15, а-в. К перемещениям,
обусловленным колебаниями стержня, можно прибавить колебания его как
абсолютно жесткого тела. Комбинированное движение как абсолютно жесткого
тела можно описать функцией
Эта функция описывает движение как переносом, так и вращением, и ее можно
прибавить к функции, описывающей перемещения при свободных колебаниях
стержня.
Стержни с жестко защемленными концами. Концевые условия в этом случае
имеют вид
Первым двум из этих условий можно удовлетворить, если в общем решении
(5.99) положим С4 = С2 = 0. В результате получим
ft" i 0
V
4,730
М
7,853
Ы
10,996
kj
14,137
V
17,279
k\a
2л
kl а
~5л '
(д)
Л - Сг -j- С2х.
(е)
(ж)
X = С2 (cos kx - ch kx) + C4 (sin kx - sh kx). (5.108)
Удовлетворяя двум другим условиям, приходим к следующей системе
уравнений:
С2 (cos kl - ch kl) 4* C4 (sin kl - sh kl) = 0; (з)
C2 (sin kl + sh kl) + C4 (-cos kl + ch kl) = 0, (и)
из которых следует такое же частотное уравнение, что и уравнение (5.107),
найденное в предыдущем случае. Из сказанного вытекает, что для стержня с
жестко защемленными концами последовательный ряд ненулевых частот
колебаний будет таким же, как и для стержня со свободными концами. На
рис. 5.16, а-в показаны первые три формы колебаний для данного случая.
Стержень с одним жестко защемленным концом. Если принять, что левый конец
(при х = 0) жестко защемлен, то концевые условия будут иметь вид
№". = 0; (-?),_ = 0;
(-&)"-* <к>
Из первых двух условий получаем, что в решении (5.99) Сг - С3 - 0,
поэтому общим решением, описывающим формы колебаний, снова будет
выражение (5.108). Из остальных двух условий вытекает следующее частотное
уравнение:
cos kl ch kl = -1. (5.109)
Последовательный ряд корней этого уравнения приведен ниже:
kt I k2l kBl k4l kxl ktl
1,875 4,694 7,855 10,996 14,137 17,279
Приближенные значения этих корней можно определить по формуле kil ж (I -
1/2) л.
С увеличением частоты корни уравнения (5.109) становятся близкими к
корням уравнения (5.107), полученного выше для стержня с незакрепленными
концами.
Частота колебаний по произвольной форме
п ¦ ok2,
h ~ ~ ~2п ' W
Взяв, например, основную форму колебаний, получим
Соответствующий период колебаний
1 _ 2я /а 2л -i/"pf7J'
Tl- fi а (1,875)2 ~ 3,515 У Е1 ' (н)
Первые три формы колебаний, относящиеся к данному случаю, изображены на
рис. 5.17, а-в.
382
B) ***
Рис. 5.17 Рис. 5.18
Стержень с одним концом жестко защемленным, а другим - свободно опертым.
В этом случае частотное уравнение имеет вид
tg kl = th kl. (5.110)
Последовательный ряд корней stofo уравнения приведен ниже:
