Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
251
вода формулы (9.17)] появляется постоянная интегрирования. В данном
случае она может произвольным образом зависеть от параметра е. Однако
потенциал в данной точке пространства не должен зависеть от е.
Оказывается, что этого можно добиться, полагая постоянную интегрирования
равной -л/Яе2. Таким образом, имеем
Дифференцируя этот потенциал по в, можно убедиться, что он не зависит от
в. Дифференцирование проводится просто, и результат оказывается равным
нулю. Выражение (9,26) представляет собой формулу Эвальда для потенциала,
создаваемого в некоторой точке г точечными зарядами и непрерывным
распределением отрицательного заряда. Как уже говорилось, сумма по Km
берется по всем не равным нулю векторам обратной решетки, а сумма по г;-
- по всем узлам решетки, находящимся на расстоянии г-3 от точки г, в
которой вычисляется потенциал.
Заметим, что если в формуле (9.26) устремить е к бесконечности, то два
последних члена обратятся в нуль, а множитель ехр (-| KmI2/4е2) в первом
члене станет равным единице. При этом формула (9.26) сводится к (9.17),
где, согласно (9.19), Я (Km) = Я-1, Разумеется, так и должно быть,
поскольку соотношение (9.17) дает совершенно точное выражение для
потенциала. Так как мы показали, что функция (9.26) не зависит от е,
метод Эвальда просто позволяет удобным путем вычислить потенциал (9.17).
В частности, как и в случае (9.17), потенциал
(9.26), усредненный по всему пространству, равен нулю. Как и раньше,
желая сделать его отличным от нуля, мы должны прибавить к потенциалу
(9.26) некоторую постоянную.
В приложении 4 специально рассмотрен случай гранецентрн-рованной
кубической решетки (структура хлористого натрия). Там исследовано
распределение потенциала в ячейке и, в частности, вычислена постоянная
Маделунга, введенная в § 3. Получены также соотношения, используемые в
гл. 4, § 3, для вычисления поправки Лорентца в кубических•кристаллах.
В § 2 настоящей главы был приведен расчет энергии связи в ионных
кристаллах по Борну и Ланде, после чего мы перешли к связанной с ним
математической задаче о вычислении электростатической энергии (энергии
Маделунга). При этом было
ехр (- | Km lJ/4eJ) ехр (iKm ¦ г) 1 Km 12
yi I - erf (erj)
А П
ri
Qe2 1
я
(9.26)
§ 5. Теория решетки и колебания кристалла
252
Гл. 9. Энергия решетки ионных кристаллов
отмечено, что вид межатомных сил полностью задан. Соответственно теорией
Борна и Ланде можно воспользоваться для изучения колебаний решетки, т. е.
для вычисления частотного спектра, о котором шла речь в гл. 7 и 8.
Первоначально эта задача рассматривалась в работах [11_13]. В дальнейшем
был дан подробный расчет для хлористого натрия.
При выборе вида межатомных сил Келлерман [12'13] использовал методы Борна
и Ланде, а при рассмотрении колебаний решетки - метод Борна-Кармана.
Прежде всего он поставил вопрос о том, какова энергия кристалла со
смещенными атомами или, что то же самое, какие силы действуют на атомы,
испытавшие малые смещения. Эти силы обусловлены двумя причинами. Во-
первых, возникают, короткодействующие силы отталкивания, пропорциональные
либо \/гп (по Борну и Ланде), либо ехр(-аг) (по Борну и Майеру). В любом
случае явный вид силы отталкивания используется лишь при вычислении двух
постоянных - значений силы и ее производной по г в положении равновесия.
Вводя эти две постоянные, можно избежать необходимости явно задавать вид
короткодействующих сил. Указанные постоянные можно определить, зная
период решетки и сжимаемость (см/§ 2). Во-вторых, между смещенными ионами
должны действовать силы кулоновского происхождения. Они были вычислены с
помощью некоторого обобщения метода Эвальда.
Сделав эти предположения (а также пренебрегая для простоты силами
отталкивания между всеми ионами, кроме ближайших соседей), Келлерман смог
вычислить коэффициенты, обозначенные в гл. 7, §, 2, через Cab(s,t, Rj -
R{). Поступая, как указано в гл. 7, § 2, он нашел значения частот,
отвечающих различным ветвям колебаний для произвольного волнового
вектора. Было вычислено 280 значений частоты колебаний, соответствующих
48 различным точкам зоны Бриллюэна. С помощью условий симметрии это
позволило определить 6700 частот в зоне Бриллюэна. Единственное, что
предпринял Келлерман для проверки правильности своих расчетов, было
вычисление теплоемкости решетки по найденному колебательному спектру. В
результате получилось хорошее согласие с опытом, но, как мы уже
упоминали, теплоемкость не очень чувствительна к виду колебательного
спектра (на что указывает сравнительно большой успех теории Дебая).
Однако к тому времени, когда Келлерман проводил свои расчеты, уже было
показано [и], что простая модель такого типа не согласуется с известными
диэлектрическими свойствами кристалла. Келлерман пренебрегал
электронной^поляризуемо-стью ионов, и поэтому, как следует из формулы
(8.11), он не мог
§ 5. Теория решетки и колебания кристалла
253
получить правильного отношения частот продольных и поперечных оптических
