Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слэтер Дж. -> "Диэлектрики полупроводники, металлы" -> 111

Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.

Слэтер Дж. Диэлектрики полупроводники, металлы — М.: Мир, 1969. — 648 c.
Скачать (прямая ссылка): diaelektrikipoluprovodnikov1969.pdf
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 313 >> Следующая

е3л-1/'ехр(-е2г2), (9.20)
где е - параметр, определяющий ширину гауссовой функции, а в3л~3/г-
нормировочный множитель. Затем производится разложение суммы таких
гауссовых функций в ряд Фурье и определяются коэффициенты Р(Кт)-
Последние теперь быстро убывают с ростом |Кш|, так что вместо
расходящегося ряда, соответствующего точечным зарядам, мы будем иметь
быстро сходящийся ряд. Другими словами, задача об определении потенциала,
создаваемого гауссовым распределением положительных зарядов и
компенсирующим их однородно распределенным отрицательным зарядом,
решается легко.
Однако эта задача не соответствует реальной ситуации, так как в
действительности нам нужно знать потенциал, создаваемый точечными
зарядами и однородным распределением. Модифицируем поэтому наш быстро
сходящийся ряд, добавляя к нему потенциал положительных точечных зарядов,
находящихся в узлах решетки, и отрицательных зарядов с гауссовым
§ 4. Метод Эвальда
249
распределением. Последние скомпенсируют использованные ранее
положительные заряды с гауссовым распределением. Такая сумма точечного
положительного заряда и отрицательного заряда, распределенного по Гауссу,
очень близка к распределению заряда в атоме; разумеется, на "хвосте"
гауссова распределения потенциал, создаваемый атомом, близок к нулю.
Следовательно, можно просто сложить потенциалы, создаваемые точечными
зарядами и зарядами с гауссовым распределением. Ввиду быстрого убывания
гауссовой функции ряд, получающийся при переходе ко все более удаленным
узлам решетки, быстро сходится. Секрет успеха метода Эвальда заключается
в возможности так выбрать значение параметра е, определяющего ширину
гауссовой функции, чтобы коэффициенты Фурье быстро убывали и в то же
время сумма потенциалов, созданных зарядами с гауссовым распределением,
имела удовлетворительную сходимость. Существует широкая область значений
параметра е, в которой эти условия выполняются и в которой результат не
зависит от е. Вне этой области сходимость того или иного ряда настолько
медленна, что пользоваться им непрактично.
Обсудим теперь математические детали метода Эвальда и покажем, как можно
изложить его элементарным образом. Прежде всего необходимо подставить
гауссову функцию (9.20) вместо р(г) в формулу (9.18). На каждую
элементарную ячейку приходится одна гауссова функция, центрированная
около начала координат. Ее "хвост" простирается за пределы данной ячейки,
зато в нее попадают "хвосты" из других элементарных ячеек; при этом
происходит точная компенсация, и правильный результат получается, если
просто проинтегрировать одну гауссову функцию по всему пространству.
Таким образом,
Р (KJ = { е3я_,/гехр [ - е2 (х2 + у2 + г2)] X
X СХр [ i (К.тхХ "1" КтуУ "1" dy dz
oo
= [ел-v" | ехр (-е2х2 - iKmxx) dx\ X
- oo
1 / j 12 \
X (Аналогичные интегралы по у и г) = ехр (--------1 ¦ (9.21)
Мы воспользовались здесь формулой
J ехр (- е?хг) cos Кхх dx = ехр (- . (9.22)
о
250
Гл. 9. Энергия решетки ионных кристаллов
Итак, вместо (9.17) мы имеем теперь потенциал, создаваемый гауссовым
распределением и однородным отрицательно заряженным фоном, т. е.
Другими словами, здесь появляется новый (по сравнению со случаем точечных
зарядов) множитель гауссового вида ехр(-|Кт|2/4е2), обеспечивающий
сходимость. При надлежащем выборе параметра е существенный вклад в сумму
(9.23) дают лишь несколько членов.
Теперь определим потенциал на расстоянии г от единичного точечного
заряда, окруженного отрицательным зарядом, распределение которого
описывается гауссовой функцией (9.20). Интегрируя непосредственно
уравнение Пуассона (в сферических координатах), получаем
Формулу (9.24) можно проверить, действуя на ф оператором Лапласа. При
этом получается гауссово распределение заряда вида (9.20), умноженное на
4л, откуда следует, что потенциал (9.24) действительно создается
гауссовым распределением отрицательного заряда. Далее, при стремлении г
(и, следовательно, erf х) й нулю рассматриваемая функция (9.24) переходит
в 1 /г; таким образом, формула (9.24) описывает потенциал, создаваемый не
только гауссовым распределением отрицательного заряда, но и единичным
положительным точечным зарядом, находящимся в начале координат.
Теперь можно найти потенциал, создаваемый точечными и гауссовыми зарядами
в произвольной точке пространства. Для этой цели нужно лишь сложить
потенциалы (9.24), отвечающие каждому такому заряду. Ввиду быстрого
убывания гауссовой функции, как уже упоминалось, при суммировании
достаточно ограничиться лишь очень небольшим количеством таких слагаемых.
Полный потенциал получится, если сложить результат суммирования функций
вида (9.24) с потенциалом (9.23).
Следует, однако, внести еще одну поправку. Мы уже упоминали, что при
интегрировании уравнения Пуассона [для вы-
4л ^ exp(-K^/4e2)exp(iKm-r)
ф Й 2и |К,"12
(9.23)
| ехр(- x2)dx
1 - erf (ег)
г
(9.24)
где erfx - функция ошибок,
X
0
(9.25)
§ 5. Теория решетки и колебания кристалла
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 313 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed