Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слэтер Дж. -> "Диэлектрики полупроводники, металлы" -> 108

Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.

Слэтер Дж. Диэлектрики полупроводники, металлы — М.: Мир, 1969. — 648 c.
Скачать (прямая ссылка): diaelektrikipoluprovodnikov1969.pdf
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 313 >> Следующая

Естественно, однако, что довольно малая абсолютная ошибка, допускаемая
при расчете методом Борна -¦ Ланде, приводит к гораздо меньшей
относительной погрешности, когда энергия связи вычисляется по отношению к
совокупности бесконечно удаленных ионов, а не атомов. С ошибками,
возникающими при вычислении энергии связи молекул [4], нужно сравнивать'
погрешности, вычисленные по отношению к суммарной энергии отдельных
атомов.
§ 3. Электростатическая энергия и задача Маделунга
Как уже упоминалось, задача о вычислении постоянной А [в формуле (9.1)],
определяющей энергию притяжения ионов в кристалле, равную -А/а, была
решена Маделунгом. Это важная и интересная проблема, возникающая всякий
раз, когда
16 Дж. Слэтер
242
Гл. 9. Энергия решетки ионных кристаллов
мы пытаемся определить энергетические характеристики ионных кристаллов,
например зонную структуру щелочногалоидных кристаллов. Поскольку эта
проблема встречается в теории твердого тела в различных формах, мы
рассмотрим ее здесь более подробно. Прежде всего напомним, что
электростатическая потенциальная энергия системы зарядов определяется
выражением
я.л = Ет^ (9'8)
i
где Vi - электростатический потенциал в точке, где находится i-й заряд,
создаваемый всеми остальными зарядами. Выражение (9.8) эквивалентно
следующему:
?эл = 2
1Ф1
4141
ni
(9.9)
Здесь r{j - расстояние между i-м и /-м зарядами; мы пользуемся гауссовой
системой единиц. Потенциал V,- равен
гранях, ребрах и в вершинах куба структуры NaCl (к вычислению постоянной
Маделунга по методу Эвжена).
!Ф1
(9.10)
Множитель 1/2 введен в выражение (9.8) в связи с тем, что, комбинируя
(9.8) и (9.10), чтобы получить формулу (9.9), мы придем к двойной сумме
по индексам i и /. Это дает удвоенную сумму по парам (ij). Лишний
множитель 2 как раз и компенсируется множителем 112 в формуле (9.8).
Для вычисления электростатической энергии ионного кристалла, построенного
из точечных ионов, необходимо найти потенциал, создаваемый всеми
остальными ионами в месте нахождения данного иона. При этом в сумму
(9.10), разумеется, не включаются бесконечно большие слагаемые с / = i.
Эта задача отнюдь не тривиальна. В случае хлористого натрия каждый
положительный ион окружен шестью отрицательными ионами, отстоящими от
него на расстоянии а/2, 12 положительными ионами на расстоянии а У 2/2 и
т. д. В более общем случае ионы будут располагаться относительно данного
иона в точках с координатами х = n.ia/2, у = п2а/2, z = Пза/2, где Пи п2,
п3 - произвольные положительные или отрицательные целые числа. Если сумма
ri\ + п2 + п3 четна, то соответствующий ион будет положительным, если
нечетна - отрицательным. В табл. 9.1 приведены расстояния, числа соседних
ионов на
§ 3. Электростатическая энергия и задача Маделунга
243
этих расстояниях и вклад этих ионов в потенциальную энергию для
всевозможных комбинаций чисел п от 0 до 3.
Таблица 9.1
Расчет электростатической энергии для структуры хлористого натрия
ЩПгЩ Число соседних ионов Расстояние Вклад в потенциальную энергию
100 6 (а/2) УТ (e7a)X(-6)x(2/VT) = - 12,000000
110 12 (а/2) Уч (e2/a) X (12) X {2/У2) = 16,970563
111 8 (а/2) V3 (e2/a) X (-8) X (2/Кз) = -9,237604
200 6 (а/2) У4 (e2/a) X (6) X (2 ЦУУ) = 6,000000
210 24 (а/2) У5 (e2/a) X (-24) X (2/ У5) = -21,466252
211 24 (а/2) У6 (е2/а)Х(24)х(2/Кб)= 19,595918
220 '12 (а/2) У8 (е2/а) X (12) X (2/КЮ = 8,485282
221 24 (а/2) У9 (в2/а)Х(-24)х(2/К9)= -16,000000
222 8 (а/2) У12 (е2/а) X (8) X (2/]/Ц) = 4,618802
300 6 (а/2) У9 (е2/а)Х(-6)х(2/К9')= - 4,й00000
310 24 (а/2) УШ (е2/а) X (24) X (2/КпГ) = 15,178933
311 24 (а/2) У11 (е2/а)Х(-24)х(2/КШ= -14,472544
320 24 (а/2) У13 (е2/а) X (-24) X (2/KlT) = - 13,312800
321 48 (а/2) У14 (е2/а) X (48) X (2/КШ = 25,657079
322 24 (а/2) У17 (е2/а)Х( -24)х(2/КГГ)= -11,641710
330 12 (а/2) У18 (е2/а) X (12) X (2/ КТЮ = 5,656854
331 24 (а/2) У19 (е2/а)Х( -24)х(2//!9)= -11,011955
332 / 24 (а/2) У22 (е2/а) X (24) X (2/У 22~) = 10,233635
333 8 (а/2) У27 (е2/а) X (- 8) X (2/^27 ) = - 3,079201
Очевидно, что, продолжая эту таблицу до бесконечности, мы получаем
осциллирующий ряд, члены которого если и убывают, то очень медленно, так
что совершенно нерационально пытаться вычислить сумму путем
непосредственного суммирования. Эвжен П предложил способ улучшения
сходимости. Идея состоит в том, чтобы построить куб, грани которого
совпадают с атомными плоскостями (фиг. 9.1), и по-особому считать ионы.
На самом деле, пусть рассматриваемому кубу принадлежит половина каждого
иона, расположенного на грани куба, четверть каждого иона, расположенного
на ребре, и одна восьмая часть каждого иона, находящегося в вершине куба.
При этом полный заряд куба равен.нулю. Если расширить куб, сдвигая
16*
244
Г л. 9. Энергия решетки ионных кристаллов
каждую его грань на а/2, то полный заряд добавочного объема будет также
равен нулю и потому этот объем будет давать очень малый вклад в полный
потенциал, создаваемый в начале координат. Другими словами, полная
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 313 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed