Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
лучами в реальной Вселенной, так как по крайней мере часть этих лучей
ведет свое происхождение от быстро движущихся частиц. Решая уравнение
(153.9),получаем
Е = у 1 =?.V'+Ae-'<\ (153.10)
где Е - полная энергия частицы, которая определяется формулой специальной
теории относительности и включает собственную энергию покоя Е0=тс2. Из
этого выражения видно, что измеряемая локальным наблюдателем,
расположенным в среднем неподвижно относительно соседней материи, энергия
таких частиц будет уменьшаться со временем, если g(t) возрастает и модель
расширяется.
Чтобы получить более полное представление об относительной скорости
изменения энергии свободных частиц со временем, продифференцируем
уравнение (153.10). В результате после некоторых выкладок получаем
(153.11)
§ 154. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛУЧЕП СВЕТА В МОДЕЛИ
393
Это выражение определяет относительную скорость уменьшения кинетической
энергии частиц (Е До)" т. е. той энергии, которая ответственна за
ионизацию в случае космических лучей.
Полученная формула имеет то преимущество, что она прямо выражает
изменение энергии через производную g=dg/dt, которая как мы покажем
дальше, тесно связала с возникающим в данной модели красным смещением
света удаленных туманностей. Из (153.11) вытекает, что относительная
скорость уменьшения кинетической энергии свободных частиц в модели
меняется в пределах от j в случае медленных частиц (ЕхЕ0) до g/2 для
частиц со скоростями, близкими к скорости света, для которых Д"Д0- Как
будет показано в § 156, в предельном случае, когда частицы имеют нулевую
массу покоя и движутся со скоростями, в точности равными скорости света,
их движение соответствует распространению световых квантов, или фотонов.
С помощью уравнений геодезической мы можем исследовать как формы
траекторий свободных частиц, так и их скорости. Для дальнейшего
достаточно рассмотреть частицу, которая первоначально двигалась точно в
радиальном направлении:
¦S-S--0. (153., 2,
Тогда из уравнений геодезической будет следовать, что 420 .-^2 ( dr
\2 . ог,2 dr dt , "2 ( dt
+ гт"Mr + 2Г?4+г*4 =0,
ds* ' и\ ds J ^ 14 ds ds ^ 144 V ds
^ + г?,(^)Д2г?(^ + гЦ-^о,
а так как все шесть символов Кристоффеля согласно (98.5) равны нулю, то
15Г = -Ж = 0- (153.13)
Отсюда мы можем заключить, что свободная частица, двигавшаяся
первоначально по направлению от центра или к центру, будет и дальше
двигаться точно в радиальном направлении. Совершено очевидно, что этот
результат является следствием пространственной изотропности модели и что
он останется в силе и при переходе к выражению для интервала (149.5), так
как координаты 0 и ср не затрагиваются при таком преобразовании.
§ 154. Распространение лучей света в модели
Теперь можем рассмотреть распространение света в нашей модели, пользуясь
по-прежнему интервалом, записанным в виде
dS* = - -гТ , (dr* -Ь гЧд2 + r'sirfQdv*) + dt\ (154.1)
[1 +г2/4#о]
394
ГЛ. X. космология
Согласно принципам релятивистской механики уравнения геодезической
(153.2) относятся к распространению света в той же мере, как и к движению
частиц, с тем только отличием, что для световых лучей мы должны полагать
ds-0.
Положив ds =0 в формуле интервала, мы можем тотчас написать общее
выражение для скорости света в модели, предполагая, что свет
распространяется в вакууме:
еШ) ! dr* , " d0'J , ., . ,п Щра \ ,
Т--------\~17Г + Г + Г Sin2 Q-J7T- = 1- (154.2)
[l + га/4Лд] \ dt dtа d' )
И если вспомнить, чему равны приращения собственного времени и
собственного расстояния (153.8), то нетрудно увидеть, что скорость света
в вакууме в любой точке пространства, измеренная обычным образом
локальным наблюдателем, расположенным неподвижно относительно вещества,
оказывается равной нормальному своему значению:
и = с. (154.3)
В том частном случае, когда лучи распространяются в радиальном
направлении, радиальная составляющая скорости согласно (154.2) равна
л г -4*5(0 г
-JT=±e [l+r2/4 ffg]. (154.4)
При этом ясно, что все, что было сказано относительно радиального
движения частиц (153.13), имеет такое же отношение и к
распространению света, т. е. свет, идущий из начала координат или к
началу, будет сохранять радиальное направление распространения
неизменным.
Интегрируя выражение (154.4) по t от t\ до t2, т. е. по тому промежутку
времени, который требуется свету, чтобы пройти расстояние от начала
координат до любой заданной точки, получаем
dr Г
= j е dt, (154.5)
1 + г"/4Я2
или
f г \ (С -425(0
2?0arctg(-^-J = J е dt, (154.6)
где интеграл в правой части может быть вычислен, только если задана
функция g(t) или если сделаны какие-то предположения о ее свойствах.
154. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛУЧЕЙ СВЕТА В МОДЕЛИ
395
Если предположить, что g(() зависит линейно от t:
g (t) =2Ht, (154.7)
в интересующем нас интервале времени, то правая часть (154.6) легко
интегрируется и мы получаем
г-2я,ц (154'8)
У) та формула определяет промежуток времени (/ь h), который требуется"
свету, чтобы пройти в любом направлении расстояние от г=0 и до г = г, и
