Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пенроуз Р. -> "Структура пространства-времени" -> 133

Структура пространства-времени - Пенроуз Р.

Пенроуз Р. Структура пространства-времени — М.: Мир, 1972. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): strukturaprostranstvavremeni1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 186 >> Следующая

бесконечным, поскольку знак интервала ds2 при этом не меняется, т. е.
физический смысл интервала ds2 сохраняется при всех значениях г.
Вычисление интеграла показывает, что открытые модели имеют бесконечный
собственный объем.
Симметричная форма, к которой нам удалось свести интервал
(149.10) ценою перехода в пространство большего числа измерений, очень
полезна для ясной демонстрации пространственной однородности модели,
упоминавшейся уже в связи с (148.14). То, что предположение о
пространственной изотропии во всех точках пространства и времени для
покоящегося наблюдателя приводит к разделению на пространство и
ортогональное к нему время и к однородности пространства, есть на самом
деле интересное следствие теоремы Шура, известной в римановой геометрии.
Именно благодаря этому результату изучаемые здесь модели Вселенной
называются нестатическими однородными космологическими моделями.
в) Сдвиг начала координат. Поскольку модель пространственно однородна,
начало координат можно выбрать в любой точке, и это не должно влиять на
вид интервала. Действительно, нетрудно показать, что при перемещении
начала координат из одной точки в другую вид интервала не меняется, но
интереснее всего то, что координаты нового центра в старой системе
отсчета оказываются связанными с координатами старого центра в новой
330 гл. X. космология
системе отсчета вполне естественным соотношением. Это мы сейчас и
продемонстрируем [98].
Для дальнейшего изложения выберем систему координат (г, 0, ф, t) в
соответствии с третьей формулой интервала ds2
(149.5):
ds2 = - ее(,) (¦-d- .~g г r2d02 -f г2 sin2 0 d<f2' 4- dt2. (149.16) - r2
R0
Рассмотрим туманность, покоящуюся в начале координат, и наблюдателя,
закрепленного в точке г=а. Затем переместим начало координат в точку, где
находится наблюдатель.
В первоначальной системе координат S можно следующим образом фиксировать
координаты туманности и наблюдателя:
Система S \ г 0 ! Ф
Туманность 0 .. .. (149.17)
Наблюдатель
Угловые координаты в начале отсчета, конечно, произвольны, для
наблюдателя же удобнее всего угловые координаты выбрать так, чтобы 0-ф=0.
Этот выбор можно всегда сделать, так как отсчет углов можно начинать с
произвольного направления.
Посмотрим теперь, что произойдет, если перейти к новой системе координат
S' того же типа, что и S, но с началом отсчета, помещенным в точку, где
находится наблюдатель. Чтобы произвести это преобразование, проще всего
перейти к промежуточной системе координат, определяемой выражением
интервала
(149.10), согласно которому наше пространство можно трактовать как
поверхность, погруженную в евклидово пространство с числом измерений на
единицу большим. С помощью формул преобразования (149.8) мы сначала
перейдем к новой системе координат Sz, в которой пространственные
координаты для туманности и наблюдателя записываются следующим образом:
Система S2 Zl z2 z3 Z4
Туманность Ro 0 0 0
Наблюдатель R0 у 1 _ a4Rl 0 0 a
Затем перейдем к системе координат Sz. Соответствующее преобразование
можно рассматривать как поворот в плоскости ZiZ4:
2j = Z1 COS ОС + 24 sin ОС, 22 =: 2",
(149.19)
zA = - z1 sin ос +24 cos а, 2з = 23,
§ 149. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕРВАЛА
381
где
sin а =
я.'
cosa=]/r 1--$• (149.20)
V Ro
В результате новые координаты туманности и наблюдателя будут
Система Sz z'l Z2 z3 z4
T уманность R0 ]/ 1 - a"//?g 0 0 - a
Наблюдатель Ra 0 0 0
(149.21)
Но последнее преобразование оставляет инвариантным выражение (149.10) и,
кроме того, оставляет инвариантным и соотношение (149.9), которое
выделяет в четырехмерном многообразии трехмерную поверхность,
соответствующую физическому пространству. Следовательно, мы можем снова
воспользоваться преобразованиями (149.8), чтобы перейти к системе
координат S', в которой выражение для интервала принимает прежний вид
(149.16). Действуя таким образом, легко получаем координаты туманности и
наблюдателя в системе S':
Система S'
0'
Ф'
Туманность
(149.22)
Наблюдатель
0
.здесь значения всех угловых координат, за исключением одной безразличны.
Сравнивая таблицы (149.17) и (149.22), видим, что мы фактически перешли
от первоначальной системы координат, где туманность находилась в центре
7=0, а наблюдатель - в г=а, к новой системе координат, где выражение для
интервала ds2 осталось тем же (149.16), но в центре находится наблюдатель
г'=0, а туманность располагается в точке г'=а. То, что соотношение между
старыми и новыми координатами оказалось столь простым, конечно, следовало
ожидать при подобного рода преобразовании. Однако мы сочли уместным
привести здесь столь подробное доказательство, так как этот результат
будет очень важен в дальнейшем.
г) Физическая интерпретация интервала. Согласно нашим общим правилам
при физической интерпретации формул интервала в нестатической Вселенной
мы должны каждому из предыдущих выражений для интервала сопоставить
результаты измерений, производимых с помощью обыкновенной линейки и
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed