Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
часов. Например, интервалу, записанному в первоначальном виде:
ds1 = - ---е*(° (dr2 + гЧв2 + г2 sin2 0 dtp2) + dt2; (149.23)
i! +
382
ГЛ. X. космология
соответствует собственное расстояние dl0, которое, будучи измерено
наблюдателем, расположенным неподвижно относительно г, 0, ф, окажется
связанным с разностью координат следующим образом:
ч,в(П
dlQ = -!--g- У dr2 + /"ad02 + г2 sin2 0 <2ф2> (149.24)
а интервал собственного времени Ло, измеряемый им с помощью своих часов,
связан с интервалом координатного времени очень простым соотношением:
dt0=dt. (149.25)
Конечно, для наблюдателей, движущихся относительно г, 0 и Ф, зависимость
собственных расстояний и времени от разности координат будет более
сложной.
Равенство (149.25) означает, что во всех приведенных выражениях для
нестатического интервала координатное время t совпадает с собственным
временем, которое отсчитывается по часам локального наблюдателя,
расположенного неподвижно относительно среднего движения материи
ближайшей к нему части Вселенной. Этот результат очень важен, так как,
исходя из него, мы можем отождествить координату t с нашим собственным
временем при текущих измерениях и при оценках протекшего и будущего
времени. Собственно оценки временных масштабов, характеризующих
астрономические процессы, производятся в терминах координаты t, и, если
координату t путем простой подстановки заменить на другую времениподобную
координату, никаких реальных изменений временных масштабов от этого не
произойдет.
§ 150. Плотность и давление в нестатической Вселенной
Вплоть до настоящего момента мы никак не конкретизировали, какого вида
материя должна заполнять нестатическую однородную модель. Мы только
условились, как это принято в космологии, пренебрегать локальными
особенностями, оперируя лишь большими масштабами. И, кроме того,
предположили, что материя подчиняется уравнениям Эйнштейна
8rtTJiV = R^V 2" -Ь ЦV >
где, опять же с точки зрения больших масштабов, тензору энергии- импульса
в интересующий момент времени и в выбранной точке пространства нужно
приписать значение, усредненное соответствующим образом.
J 150. ПЛОТНОСТЬ И ДАВЛЕНИЕ В НЕСТАТИЧЕСКОИ ВСЕЛЕННОЙ 383
Теперь мы можем наделить материю, заполняющую модель, более конкретными
свойствами. Предположим, что она представляет собою идеальную жидкость. С
таким предположением имело смысл подождать до тех пор, пока не была
установлена однородность модели. При неоднородном распределении можно
было бы ожидать, что имеются потоки излучения из областей, содержащих
большее количество светящегося вещества, в окружающее пространство.
Поэтому материю нельзя было бы считать идеальной жидкостью, так как в
случае идеальной жидкости этих потоков не может быть благодаря тому
обстоятельству, отмеченному в § 86, что выражение для тензора энергии -
импульса идеальной жидкости ограничивает круг возможных процессов. А
именно, в идеальной жидкости могут происходить только адиабатические
процессы без всякой передачи тепла, иными словами, не возможны никакие
процессы, аналогичные передаче энергии с помощью теплового излучения от
одной части материи к другой. Однако, установив, что изучаемые нами
модели являются однородными, мы можем считать, что излучение, испускаемое
туманностями, в любой наперед заданной достаточно большой области не
возрастает и не убывает при обмене с окружающими областями, иными
словами, мы можем сделать вполне определенное предположение, что материю
реальной Вселенной, состоящую из туманностей и межгалактической пыли и
излучения, можно с модельной точки зрения рассматривать как идеальную
жидкость.
Отсюда сразу же вытекает, что для материи, заполняющей модель, мы можем
воспользоваться тензором энергии - импульса идеальной жидкости,
полученным в § 85:
T*v = (Роо + Ро) ъ - g"*p0, (150.1)
где роо и р0 - собственные макроскопические плотность и давление,
измеряемые локальным наблюдателем, расположенным неподвижно относительно
жидкости, a dx^/ds - компоненты макроскопической "скорости" жидкости
относительно рассматриваемой системы координат.
Если воспользоваться системой координат (г, 0, <р, t), в которой интервал
имеет вид
ds - -/. П212 (dr2 + r2dQ2 +/'2sin20dcp2) -f dt2, (150.2 ;
[1 4- r*№ oj
то выражения (150.1) можно значительно упростить. Так как указанная
система координат является сопутствующей, то пространственные компоненты
скорости должны равняться нулю:
dr dQ dw
384
гл. х. космология
Временная же компонента скорости, как следует из вида интервала, равна
|=1. (150.4)
При этом отличными от нуля оказываются только следующие компоненты
тензора энергии - импульса:
Тп =-gnPo, T(tm) = -gVPo, T(tm)=-g(tm)p0, 7'44==po0i (150.5) откуда, опуская
индексы, получаем
Т\ = Т1 = Т% = -Р0, 71 = Роо. (150.6)
С другой стороны, выражение (150.2) для интервала записано в стандартном
виде. Это значит, что мы можем воспользоваться для тензора энергии -
импульса формулами (98.6). Применяя эти формулы к данному конкретному
